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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
champs de vecteurs v 1 , . . . , v n−d qui forment en chaque point de V une base
orthonormée de (T x V )
⊥ . Alors, l’application
(u 1 , . . . , u d , t 1 , . . . , t n−d ) −→
x(u 1 , . . . , u d ),
n−d
i=1
t i v i (u 1 , . . . , u n−d )
est un paramétrage local de N , donc celle-ci est bien une sous-variété. Dans
ces coordonnées, les dérivées partielles de E sont
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∂E
∂u i
=
∂x
∂u i
+
n−d
k=1
t k
∂v k
∂u i
∂E
∂t j
= v j .
Calculons les produits scalaires de ces n vecteurs avec les n vecteurs indépendants
∂x
∂u 1
, . . . ,
∂x
∂u d
, v 1 , . . . , v n−d ,
obtenant ainsi une matrice qui a le même rang que la jacobienne de E et
qui a la forme
⎛
⎜
⎜
⎝
∂x
∂u i
·
∂x
∂u j
+
k
t k
∂v k
∂u i
·
∂x
∂u j
k
∂v k
∂u i
· v
0
I d
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Mais v k est orthogonal à ∂x/∂u j , donc
∂
∂u i
v k ·
∂x
∂u j
=
∂v k
∂u i
·
∂x
∂u j
+ v k ·
∂
2 x
∂u i ∂u j
= 0.
Ce qui achève la démonstration du lemme...
et donc celle de la proposition.
Nous dirons quelques mots des points p pour lesquels la fonction p n’est
pas de Morse, ci-dessous dans la remarque 1.4.1.
Remarque 1.2.3. Remarquons que cette démonstration utilise une partie non
triviale du théorème de Sard (mais pas la plus difficile, qui serait celle où
la dimension de la source est strictement plus grande que celle du but) : les
deux variétés N et R
n ont la même dimension.
1.2.b. Généricité des fonctions de Morse. La proposition 1.2.1 montre
qu’il existe de nombreuses fonctions de Morse sur une sous-variété de R
n . En
utilisant les mêmes outils, nous montrons maintenant, toujours suivant [47],
que toute fonction C
∞ peut être approchée par des fonctions de Morse.