1.2. EXISTENCE ET MULTITUDE DES FONCTIONS DE MORSE
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Démonstration. La différentielle de f p est
T x f p (ξ) = 2(x − p) · ξ,
de sorte que x est critique si et seulement si (x − p) est orthogonal à T x V .
Paramétrons V localement (comme nous y autorise le théorème des sousvariétés, ici le théorème 14.1.1) par
(u 1 , . . . , u d ) −→ x(u 1 , . . . , u d ).
Dans ces coordonnées,
∂f p
∂u i
= 2(x − p) ·
∂x
∂u i
et
∂
2 f p
∂u i ∂u j
= 2
∂x
∂u j
·
∂x
∂u i
+ (x − p) ·
∂
2 x
∂u i ∂u j
.
Le point x est donc un point critique non dégénéré si et seulement si le
vecteur x − p est orthogonal à T x V et la matrice ci-dessus est de rang d.
Pour montrer que, pour presque tout p, la fonction f p est de Morse, il
suffit donc de montrer que les p qui ne vérifient pas cette propriété sont les
valeurs critiques d’une application C
∞ et d’appliquer le théorème de Sard
(théorème 14.2.1). Considérons donc le « fibré normal » de V dans R
n ,
c’est-à-dire l’espace
N = {(x, v) ∈ V × R
n
| v ⊥ T x V } ⊂ V × R
n ,
et l’application
E : N −→ R
n
(x, v) −→ x + v.
La proposition est alors conséquence du lemme qui suit :
Lemme 1.2.2. Le fibré normal N est une sous-variété de V × R
n . Le point
p = x + v ∈ R
n est une valeur critique de E si et seulement si la matrice
∂
2 f
∂u i ∂u j
= 2
∂x
∂u j
·
∂x
∂u i
+ v ·
∂
2 x
∂u i ∂u j
n’est pas inversible.
Démonstration. Comme V est une sous-variété de R
n , il y a une carte
(locale) envoyant R
n sur un ouvert de R
n et R
d sur un ouvert de V .
L’application tangente à la carte envoie la base canonique de R
n sur une
base de vecteurs tangents à V suivis de vecteurs engendrant un supplémentaire. Il suffit alors d’orthonormaliser cette base pour obtenir n − d