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CHAPITRE 1. FONCTIONS DE MORSE
On dira qu’un point critique est non dégénéré si cette forme bilinéaire
l’est. Et qu’une fonction est de Morse si tous ses points critiques sont non
dégénérés.
1.1.b. Exemples et contre-exemples. Les points critiques de la fonction hauteur sur la sphère sont non dégénérés. En effet, au voisinage du
point (0, 0, ε) ∈ S
2 , (x, y) forment des coordonnées locales et
f (x, y) = z = ε
1 − x 2 − y 2 ,
une fonction dont la dérivée seconde est la forme quadratique
(d
2 f ) (0,0,ε) (x, y) = −ε(x
2 + y
2 )
une forme quadratique non dégénérée, en effet.
Il est très facile de construire des fonctions avec des points critiques
dégénérés, par exemple en prenant pour fonction une forme quadratique
dégénérée, qui sera sa propre dérivée seconde en 0 ou pire, un polynôme de
degré plus grand, comme la fonction x → x
3 , de R dans R, qui a un point
critique dégénéré en 0.
Voir d’autres exemples dans [47] et dans les exercices de ce chapitre (voir
aussi la remarque 4.4.5 ci-dessous).
1.2. Existence et multitude des fonctions de Morse
Il est moins facile de montrer qu’il existe des fonctions de Morse sur toutes
les variétés, mais c’est vrai. Dans ce paragraphe (qui est une paraphrase
de [47]), nous montrons qu’il existe, en un sens précis, beaucoup de fonctions
de Morse sur une variété compacte (en fait, nous le montrons pour n’importe
quelle variété qui se plonge comme sous-variété dans un espace R
n ).
1.2.a. Existence de fonctions de Morse. Utilisons le théorème de plongement (ici le théorème 14.1.2) et montrons l’existence de fonctions de Morse
sur les sous-variétés de l’espace R
n .
Proposition 1.2.1. Soit V ⊂ R
n une sous-variété. Pour presque tout point p
de R
n , la fonction
f p : V −→ R
x −→ →x − p
2
est une fonction de Morse.