CHAPITRE 1
FONCTIONS DE MORSE
Toutes les variétés et les fonctions que nous considérons ici sont de
classe C
∞ , même si on n’a besoin en général que de régularité C
1 !
1.1. Définition des fonctions de Morse
1.1.a. Points critiques, non-dégénérescence. Soit V une variété et
soit f : V → R une fonction.
Remarque 1.1.1. Au moins si V est compacte, f a toujours des points critiques, puisqu’elle a au moins un maximum et un minimum.
En un point critique de f , on peut définir la hessienne ou dérivée seconde.
Remarque 1.1.2. Rappelons qu’une fonction sur une variété n’a pas de dérivée
seconde : il est toujours possible de calculer une dérivée seconde dans une
carte, mais le résultat dépend de la carte utilisée. La dérivée seconde est
bien définie sur le noyau de la dérivée première... Ici nous nous contenterons
de la définir en les points critiques. Voir l’exercice 1 page 17.
Plutôt que d’utiliser une carte et de montrer que le résultat n’en dépend
pas, faisons appel à un argument plus intrinsèque (comme dans [47, p. 4]).
Si x est un point critique de f et si X et Y sont des vecteurs tangents à V
en x, posons
(d
2 f ) x (X, Y ) = X · (
Y · f )(x)
où nous avons noté
Y un champ de vecteurs prolongeant localement Y .
Comme
X · (
Y · f )(x) − Y · (
X · f )(x) = [
X,
Y ] x · f = (df ) x ([
X,
Y ] x ) = 0,
l’expression est une forme bilinéaire symétrique en X et Y . Le même calcul
montre aussi que cette forme est bien définie, le résultat ne dépend pas du
prolongement
Y choisi.