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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Ensuite
2π
0
∂
∂ρ
u(ρe
iθ ) dθ =
d
dρ
1
ρ
Bρ
u
donc
d
dρ
1
ρ
Bρ
u
≥ 0
de sorte que la fonction ρ →
1
ρ
Bρ
u est croissante et que, pour r ≥ ρ,
1
2πρ
∂Bρ
u ≤
1
2πr
∂Br
u.
Lorsque ρ tend vers 0, le premier membre tend vers u(0), on a donc
2πru(0) ≤
∂Br
u,
ce que l’on intègre de 0 à r pour obtenir
πr
2 u(0) ≤
Br
u,
qui est l’inégalité désirée.
Toujours dans le cas où n = 2, on considère la fonction (noyau de Poisson)
K(z) =
1
2π
log |z| .
On vérifie facilement
(5) que K est dans L
1
loc (R
2 ) et que ΔK = δ (au sens
des distributions) donc K est une solution fondamentale de Δ (au sens
du § 16.3.d).
Remarquons que
Δ = 4∂∂,
et d’ailleurs, les noyaux de Poisson et de Cauchy sont liés par
N (z) = 4∂K.
On a ΔK = 0 mais, attention, les dérivées secondes de K ne sont même
pas intégrables sur les compacts. Toujours est-il que l’on a, comme conséquence du théorème 16.3.1 :
Proposition 16.5.7. Soient u et f deux fonctions à support compact sur R
2 .
On suppose que u, f ∈ L
1 (R
2 ). Alors, la fonction u est une solution faible
de Δu = f si et seulement si u = K K f.
Appelons K j (i = 1, 2) les dérivées partielles par rapport à x et y de la
solution fondamentale K,
K 1 (z) =
x
2π |z|
2 , K 2 (z) =
y
2π |z|
2 .
(5) C’est un exercice, écrire K en coordonnées polaires.