16.5. L’ÉQUATION DE CAUCHY-RIEMANN
531
Lemme 16.5.4. Toute solution faible u ∈ L
p
loc (U ) (pour p ≥ 1) de Δu = 0 est
harmonique.
Démonstration. On utilise une famille de fonctions β δ de classe C
∞ qui
approchent la masse de Dirac en 0 (comme dans la démonstration de la
proposition 16.4.1) : on choisit β : R
n
→ R positive et de classe C
∞ ,
à support dans la boule unité et telle que
R n β(x) dx = 1 et on pose
β δ = δ
−n β(δ
−1 x). Le support de β δ est contenu dans la boule de rayon δ et
son intégrale sur R
n est égale à 1.
Soit u ∈ L
p
loc (U ). La fonction u u β δ est de classe C
∞ , son support est
contenu dans {x ∈ U | B(x, δ) ⊂ U } et on a
Δ(u u β δ ) = β δ Δu
(par définition des dérivées faibles), donc u u β δ est harmonique si u est
une solution faible. En particulier, pour tout δ, u u β δ vérifie l’égalité de la
moyenne.
Mais u u β δ converge vers u en norme L
p et presque partout sur les compacts de U quand δ tend vers 0. Donc la solution faible u vérifie, elle aussi,
la propriété de la moyenne, donc elle est de classe C
∞ et donc harmonique
d’après le lemme 16.5.3.
Les parties réelle et imaginaire d’une solution faible de l’équation de
Cauchy-Riemann sont des solutions faibles de celles de Laplace. On en déduit :
Lemme 16.5.5. Toute solution faible u de l’équation de Cauchy-Riemann qui
est localement intégrable sur un ouvert U est holomorphe.
Proposition 16.5.6 (inégalité de la moyenne). Soit u une fonction de classe C
2
sur U ⊂ R
2 et qui y vérifie Δu ≥ 0. On a
u(x) ≤
1
πr 2
B(x,r)
u(z) dz pour toute boule B(x, r) ⊂ U.
Donnons une démonstration de cette inégalité (qui se transforme sans
difficulté en une démonstration de l’inégalité) et qui est une application de
la formule de Stokes.
Démonstration de l’inégalité (et de l’égalité) de la moyenne
Puisque Δu ≥ 0, on a
Bρ
Δu ≥ 0. Mais par le « théorème de la divergence » (la version ad hoc de la formule de Stokes),
Bρ
Δu =
∂Bρ
∂u
∂ν
= ρ
2π
0
∂
∂ρ
u(ρe
iθ ) dθ.
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Lemme 16.5.4. Toute solution faible u ∈ L
p
loc (U ) (pour p ≥ 1) de Δu = 0 est
harmonique.
Démonstration. On utilise une famille de fonctions β δ de classe C
∞ qui
approchent la masse de Dirac en 0 (comme dans la démonstration de la
proposition 16.4.1) : on choisit β : R
n
→ R positive et de classe C
∞ ,
à support dans la boule unité et telle que
R n β(x) dx = 1 et on pose
β δ = δ
−n β(δ
−1 x). Le support de β δ est contenu dans la boule de rayon δ et
son intégrale sur R
n est égale à 1.
Soit u ∈ L
p
loc (U ). La fonction u u β δ est de classe C
∞ , son support est
contenu dans {x ∈ U | B(x, δ) ⊂ U } et on a
Δ(u u β δ ) = β δ Δu
(par définition des dérivées faibles), donc u u β δ est harmonique si u est
une solution faible. En particulier, pour tout δ, u u β δ vérifie l’égalité de la
moyenne.
Mais u u β δ converge vers u en norme L
p et presque partout sur les compacts de U quand δ tend vers 0. Donc la solution faible u vérifie, elle aussi,
la propriété de la moyenne, donc elle est de classe C
∞ et donc harmonique
d’après le lemme 16.5.3.
Les parties réelle et imaginaire d’une solution faible de l’équation de
Cauchy-Riemann sont des solutions faibles de celles de Laplace. On en déduit :
Lemme 16.5.5. Toute solution faible u de l’équation de Cauchy-Riemann qui
est localement intégrable sur un ouvert U est holomorphe.
Proposition 16.5.6 (inégalité de la moyenne). Soit u une fonction de classe C
2
sur U ⊂ R
2 et qui y vérifie Δu ≥ 0. On a
u(x) ≤
1
πr 2
B(x,r)
u(z) dz pour toute boule B(x, r) ⊂ U.
Donnons une démonstration de cette inégalité (qui se transforme sans
difficulté en une démonstration de l’inégalité) et qui est une application de
la formule de Stokes.
Démonstration de l’inégalité (et de l’égalité) de la moyenne
Puisque Δu ≥ 0, on a
Bρ
Δu ≥ 0. Mais par le « théorème de la divergence » (la version ad hoc de la formule de Stokes),
Bρ
Δu =
∂Bρ
∂u
∂ν
= ρ
2π
0
∂
∂ρ
u(ρe
iθ ) dθ.