530
CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Démonstration. L’idée est que le u qui constitue le membre de gauche est
plus régulier que celui qui apparaît dans l’intégrale (un bootstrapping). Pour
le démontrer, remarquons que l’égalité de la moyenne est aussi équivalente à
u = χ r u, avec χ r =
1
πr 2 χ B(0,r) ,
cette égalité étant valable sur U r = {x ∈ U | B(x, r) ⊂ U } . Ceci entraîne
que
u = χ r χ r · · · χ r
m fois
u sur U mr .
Le résultat découle immédiatement de la régularité des convolutions (cidessus, § 16.3.c) si l’on sait que
χ r χ r · · · χ r
m fois
∈ C
m−2
0
(R
2 ),
ce que nous montrons maintenant par récurrence. D’abord,
χ r χ r (x) =
1
(πr 2 ) 2 Aire(B r (0, 0) ∩ B r (x)),
dont on vérifie sans mal que c’est une fonction continue à support compact,
précisément
χ r χ r (x) =
1
(πr 2 ) 2
2 arccos
x
2r
−
x
4r 2 − −x
2
2
(si B r (0) ∩ B r (x) = ∅ et 0 sinon).
Puis, si f ∈ C
k
0 (R
2 ), alors χ r f ∈ C
k+1
0
(R
2 ). En effet, cette fonction est
clairement à support compact. De plus, la convolée est de classe C
k
0 et, si
|α| = k,
∂
α
∂x α (χ r f) = χ r
∂
α
∂x α f
donc ∂
α /∂x
α f est continue. Appelons-la g et montrons que g est de
classe C
1 . On a
πr
2 (χ r g)(s, t) =
B r
g(x, y) dx dy
=
s+r
s−r
t+
√
r 2 −(x−s) 2
t−
√
r 2 −(x−s) 2
g(x, y) dy
dx
donc la fonction est dérivable en t et sa dérivée est continue. De même pour
sa dérivée en s.
Le fait d’être de classe C
2 n’est pas une hypothèse indispensable à l’harmonicité, comme l’exprime le lemme (souvent appelé « lemme de Weyl ») :