16.5. L’ÉQUATION DE CAUCHY-RIEMANN
529
Lemme 16.5.1. Soient u et f des fonctions continues à support compact dans
L
p (C). Alors, u est une solution faible de ∂u = f si et seulement si u =
N N f.
Autrement dit,
u(z) =
1
2iπ
C
f (w)
w − z
dw ∧ dw.
Démonstration. Dans le cas où u est continue, la formule de Cauchy (une
conséquence, par exemple, de la formule de Stokes, voir [33, p. 3]) donne,
sur tout disque D ⊂ C et tout z dans D,
u(z) =
1
2iπ
∂D
u(w) dw
w − z
+
1
2iπ
D
∂u
∂w
dw ∧ dw
w − z
.
Si u est à support compact et D contient son support, la première intégrale
est nulle.
C’est la propriété qui permet d’affirmer qu’une limite de solutions d’un
« opérateur elliptique » est une solution C
∞ . Pour une présentation générale
au niveau d’un cours de mastère, voir [58, Chap. I]. Nous avons utilisé pour
écrire cette partie [42, App. B], [44, App. B], [13] et [31]. Il est arrivé souvent que nous n’ayons pas trouvé très faciles ce que certains de ces auteurs
qualifient d’easy exercises, aussi nous avons essayé d’éviter cette humiliation
à nos lecteurs.
16.5.a. Le laplacien. Sur R
n , le laplacien est l’opérateur
Δ =
n
i=1
∂
2
∂x
2
i
.
Les fonctions C
2 sur un ouvert U qui vérifient Δu = 0 sont les fonctions
harmoniques. Rappelons, dans le cas n = 2, qui est celui qui nous intéresse
ici, que les fonctions harmoniques sont les parties réelles des fonctions analytiques. Les fonctions harmoniques vérifient la propriété de la moyenne :
Proposition 16.5.2 (égalité de la moyenne). Soit u une fonction harmonique
sur U ⊂ R
2 . On a
u(x) =
1
πr 2
B(x,r)
u(z) dz pour toute boule B(x, r) ⊂ U.
Une fonction L
1
loc qui vérifie cette propriété (égalité de la moyenne) est
nécessairement C
∞ comme nous le vérifions dans un lemme :
Lemme 16.5.3. Une fonction L
p
loc qui satisfait à l’égalité de la moyenne est
de classe C
∞ .
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Lemme 16.5.1. Soient u et f des fonctions continues à support compact dans
L
p (C). Alors, u est une solution faible de ∂u = f si et seulement si u =
N N f.
Autrement dit,
u(z) =
1
2iπ
C
f (w)
w − z
dw ∧ dw.
Démonstration. Dans le cas où u est continue, la formule de Cauchy (une
conséquence, par exemple, de la formule de Stokes, voir [33, p. 3]) donne,
sur tout disque D ⊂ C et tout z dans D,
u(z) =
1
2iπ
∂D
u(w) dw
w − z
+
1
2iπ
D
∂u
∂w
dw ∧ dw
w − z
.
Si u est à support compact et D contient son support, la première intégrale
est nulle.
C’est la propriété qui permet d’affirmer qu’une limite de solutions d’un
« opérateur elliptique » est une solution C
∞ . Pour une présentation générale
au niveau d’un cours de mastère, voir [58, Chap. I]. Nous avons utilisé pour
écrire cette partie [42, App. B], [44, App. B], [13] et [31]. Il est arrivé souvent que nous n’ayons pas trouvé très faciles ce que certains de ces auteurs
qualifient d’easy exercises, aussi nous avons essayé d’éviter cette humiliation
à nos lecteurs.
16.5.a. Le laplacien. Sur R
n , le laplacien est l’opérateur
Δ =
n
i=1
∂
2
∂x
2
i
.
Les fonctions C
2 sur un ouvert U qui vérifient Δu = 0 sont les fonctions
harmoniques. Rappelons, dans le cas n = 2, qui est celui qui nous intéresse
ici, que les fonctions harmoniques sont les parties réelles des fonctions analytiques. Les fonctions harmoniques vérifient la propriété de la moyenne :
Proposition 16.5.2 (égalité de la moyenne). Soit u une fonction harmonique
sur U ⊂ R
2 . On a
u(x) =
1
πr 2
B(x,r)
u(z) dz pour toute boule B(x, r) ⊂ U.
Une fonction L
1
loc qui vérifie cette propriété (égalité de la moyenne) est
nécessairement C
∞ comme nous le vérifions dans un lemme :
Lemme 16.5.3. Une fonction L
p
loc qui satisfait à l’égalité de la moyenne est
de classe C
∞ .