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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Théorème 16.4.9 (voir [13, p. 168]). Soit U un ouvert borné de R
n dont la
frontière est de classe C
1 . Soit k ∈ N, k ≥ 1 et soit p avec 1 < p < +∞.
Alors
(1) si p < n/k, W
k,p (U ) ⊂ L
q (U) avec q = np/(n − kp),
(2) si p = n/k, W
k,p (U ) ⊂ L
q (U) pour tout q ≥ p,
(3) si p > n/k, W
k,p (U ) ⊂ L
∞ (U)
et les inclusions sont continues. De plus, pour u ∈ W
k,p (U ), on a
|α| ≤ k =⇒
∂
α u
∂x α
L ∞ (U )
≤ C u W k,p (U ) .
En particulier, on a, pour m = [k − n/p], une injection continue
W
k,p (U ) ⊂ C
m (U ).
L’énoncé suivant se concentre sur le cas où k = 1.
Théorème 16.4.10 (de Rellich-Kondrachov [13, p. 169]). Soit U un
ouvert borné de R
n . On suppose p < n. Alors il existe une constante
C = C(p, U ) > 0 telle que, pour toute fonction u sur U ,
u L q ≤ C u W 1,p pour tout q ≤
n
n − p
.
De plus, pour q < np/(n − p), l’injection
W
1,p (U ; R
m ) ⊂ L
q (U ; R
m )
est un opérateur compact.
16.5. L’équation de Cauchy-Riemann
L’opérateur ∂ joue un grand rôle dans la théorie de Floer, nous l’avons
vu. Sur R
2 = C, on considère les deux opérateurs
∂ =
1
2
∂
∂x
+ i
∂
∂y
et ∂ =
1
2
∂
∂x
− i
∂
∂y
.
Une fonction u de classe C
1 sur un ouvert U de C est holomorphe si et
seulement si elle satisfait à l’équation de Cauchy-Riemann
∂u = 0.
La fonction
N (z) =
1
πz
(noyau de Cauchy) est une solution fondamentale de l’équation de CauchyRiemann au sens donné au § 16.3.d, comme le montre le lemme suivant.