16.4. ESPACES DE SOBOLEV SUR R
n
527
Les puissances p-èmes de ces dérivées sont intégrables sur la boule unité si
et seulement si (α + 1)p < n. Donc, si α vérifie
0 < α <
n
p
− 1,
la fonction u est dans W
1,p sans être continue en 0. Un tel α ne peut exister
que si p < n. Cet exemple est représentatif de la propriété exprimée dans le
théorème suivant, qui est un cas particulier d’un théorème de Rellich.
Théorème 16.4.6 (Rellich, [13, p. 169]). Soit U un ouvert borné de R
n . On
suppose p > n. Alors W
1,p (U ; R
m ) est un sous-espace de C
0 (U ; R
m ) et
l’injection
W
1,p (U ; R
m ) ⊂ C
0 (U ; R
m )
est un opérateur compact.
Remarque 16.4.7. Notons en particulier que, sur R, les éléments de W
1,2
sont des fonctions continues. Voir [13].
Le cas p = n = 2, cas de R
2 , qui est celui qui nous intéresse dans ce
texte, est plus subtil, comme le montre l’exemple :
Exemple 16.4.8. Pour tout δ ∈ ]0, 1[, définissons une fonction continue u δ
sur C par
u δ (z) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
s i |z| ≤ δ
log |z|
log δ
si δ ≤ |z| ≤ 1
0
s i |z| ≥ 1.
Pour δ ≤ |z| ≤ 1, on a
grad u δ (z) ≤
1
|log δ| |z|
,
de sorte que
C
grad u δ (z)
2 dz ≤
δ≤|z|≤1
dz
|log δ|
2 |z|
2 =
1
δ
2πs ds
|log δ|
2 =
2π
|log δ|
.
Ainsi la fonction u δ est à la fois continue à support compact et élément de
W
1,p (C) (on pourrait même la rendre C
∞ en la convolant avec une fonction
convenable) et elle vérifie u δ (0) = 1.
La suite (v n ) définie par v n = u 1/n est donc une suite de fonctions continues à support compact, éléments de W
1,2 (C), cette suite tend vers 0 pour
la norme W
1,2 mais pas pour la norme L
∞ .
Les théorèmes qui suivent regroupent les estimées Sobolev et un énoncé
de compacité appelé théorème de Rellich.
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Les puissances p-èmes de ces dérivées sont intégrables sur la boule unité si
et seulement si (α + 1)p < n. Donc, si α vérifie
0 < α <
n
p
− 1,
la fonction u est dans W
1,p sans être continue en 0. Un tel α ne peut exister
que si p < n. Cet exemple est représentatif de la propriété exprimée dans le
théorème suivant, qui est un cas particulier d’un théorème de Rellich.
Théorème 16.4.6 (Rellich, [13, p. 169]). Soit U un ouvert borné de R
n . On
suppose p > n. Alors W
1,p (U ; R
m ) est un sous-espace de C
0 (U ; R
m ) et
l’injection
W
1,p (U ; R
m ) ⊂ C
0 (U ; R
m )
est un opérateur compact.
Remarque 16.4.7. Notons en particulier que, sur R, les éléments de W
1,2
sont des fonctions continues. Voir [13].
Le cas p = n = 2, cas de R
2 , qui est celui qui nous intéresse dans ce
texte, est plus subtil, comme le montre l’exemple :
Exemple 16.4.8. Pour tout δ ∈ ]0, 1[, définissons une fonction continue u δ
sur C par
u δ (z) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
s i |z| ≤ δ
log |z|
log δ
si δ ≤ |z| ≤ 1
0
s i |z| ≥ 1.
Pour δ ≤ |z| ≤ 1, on a
grad u δ (z) ≤
1
|log δ| |z|
,
de sorte que
C
grad u δ (z)
2 dz ≤
δ≤|z|≤1
dz
|log δ|
2 |z|
2 =
1
δ
2πs ds
|log δ|
2 =
2π
|log δ|
.
Ainsi la fonction u δ est à la fois continue à support compact et élément de
W
1,p (C) (on pourrait même la rendre C
∞ en la convolant avec une fonction
convenable) et elle vérifie u δ (0) = 1.
La suite (v n ) définie par v n = u 1/n est donc une suite de fonctions continues à support compact, éléments de W
1,2 (C), cette suite tend vers 0 pour
la norme W
1,2 mais pas pour la norme L
∞ .
Les théorèmes qui suivent regroupent les estimées Sobolev et un énoncé
de compacité appelé théorème de Rellich.