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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
On passe de n à n + 1 en considérant
v(t) =
[0,1] n
u(x 1 , . . . , x n , t) dx 1 · · · dx n ,
une fonction sur [0, 1] de valeur moyenne nulle, à laquelle on applique le cas
n = 1 et l’inégalité de Hölder,
1
0
|v(t)|
p dt ≤
1
0
|v
(t)|
p dt ≤
[0,1] n+1
∂u
∂x n+1
p
dx.
À t fixé, on applique l’hypothèse de récurrence à la fonction u(x, t) − v(t),
[0,1] n
|u(x 1 , . . . , x n , t) − v(t)|
p dx 1 · · · dx n
≤ n
p
[0,1] n
grad x1,...,xn u(x 1 , . . . , x n , t)
p dx 1 · · · dx n ,
ce qu’on intègre ensuite par rapport à t, pour trouver
u − v L p ≤ n
grad x1,...,xn u
L p
et enfin
u L p ≤ ≤u − v L p + v L p
≤ n
grad x1,...,xn u
L p +
∂u
∂x n+1
L p
≤ (n + 1) grad u L p .
Ce qui achève la démonstration.
Les fonctions C
∞ sont denses, au sens précis que voici :
Proposition 16.4.4 (voir [13, p. 162]). Soit U un ouvert de R
n dont la frontière
est une sous-variété de classe C
1 . Alors les restrictions à U des fonctions C
∞
à support compact sur R
n forment un sous-espace dense de W
1,p (U ).
Relations entre espaces de Sobolev. Commençons par un exemple.
Exemple 16.4.5. Considérons, sur la boule unité x < 1 de R
n , la fonction
u(x) =
1
x
α .
Elle n’est pas continue en 0 si α > 0. On a
∂u
∂x i
= −α
x i
x
α+2 , donc
∂u
∂x i
≤ α x
−α−1 .