16.4. ESPACES DE SOBOLEV SUR R
n
525
Démonstration. Par densité de C
∞
∩W
1,p dans W
1,p , on peut supposer que u
est lisse et à support compact dans U . Quitte à appliquer une transformation
affine de R
n , on peut aussi supposer que l’ouvert U est contenu dans le demiespace x n > 0 (et que 0 ∈ ∂U ). Comme U est borné, il a un diamètre fini, D
et on a 0 ≤ x n ≤ D sur U . On écrit
u(x) =
xn
0
∂u
∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t) dt,
puis
|u(x)|
p ≤
xn
0
∂u
∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t)
dt
p
≤ D
p/q
xn
0
∂u
∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t)
p
dt
en appliquant l’inégalité de Hölder (ici 1/p + 1/q = 1 donc p/q = p − 1).
On intègre ensuite les deux membres sur U ou, ce qui revient au même, sur
R
n−1
× [0, D],
R n
|u(x)|
p dx ≤ D
1+p/q
U
∂u
∂x n
p
dx
et finalement
u L p ≤ D
∂u
∂x n
L p
,
d’où l’on déduit la première assertion. Pour la deuxième, on procède par
récurrence sur n. On utilise la densité des fonctions C
∞ sur U pour supposer
que u est C
∞ sur le cube fermé. L’initialisation de la récurrence se fait
en remarquant (ce que nous avons déjà fait dans le lemme 10.4.1) qu’une
fonction de valeur moyenne nulle sur [0, 1] satisfait à
1
0
|u(t)|
p dt ≤
1
0
|u
(t)|
p dt.
En effet, on a pour tous t, 1 dans [0, 1],
u(t 1 ) − u(t) =
t1
t
du
dτ
dτ,
relation que l’on intègre par rapport à t sur [0, 1] pour obtenir
u(t 1 ) =
1
0
t1
t
u(τ )
dτ
dτ dt,
d’où l’on déduit que
1
0
|u(t 1 )|
p dt 1 ≤
1
0
1
0
t1
t
u(τ )
dτ
p
dτ dt dt 1
≤
1
0
|u
(τ )|
p dτ.
n
525
Démonstration. Par densité de C
∞
∩W
1,p dans W
1,p , on peut supposer que u
est lisse et à support compact dans U . Quitte à appliquer une transformation
affine de R
n , on peut aussi supposer que l’ouvert U est contenu dans le demiespace x n > 0 (et que 0 ∈ ∂U ). Comme U est borné, il a un diamètre fini, D
et on a 0 ≤ x n ≤ D sur U . On écrit
u(x) =
xn
0
∂u
∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t) dt,
puis
|u(x)|
p ≤
xn
0
∂u
∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t)
dt
p
≤ D
p/q
xn
0
∂u
∂x n
(x 1 , . . . , x n−1 , t)
p
dt
en appliquant l’inégalité de Hölder (ici 1/p + 1/q = 1 donc p/q = p − 1).
On intègre ensuite les deux membres sur U ou, ce qui revient au même, sur
R
n−1
× [0, D],
R n
|u(x)|
p dx ≤ D
1+p/q
U
∂u
∂x n
p
dx
et finalement
u L p ≤ D
∂u
∂x n
L p
,
d’où l’on déduit la première assertion. Pour la deuxième, on procède par
récurrence sur n. On utilise la densité des fonctions C
∞ sur U pour supposer
que u est C
∞ sur le cube fermé. L’initialisation de la récurrence se fait
en remarquant (ce que nous avons déjà fait dans le lemme 10.4.1) qu’une
fonction de valeur moyenne nulle sur [0, 1] satisfait à
1
0
|u(t)|
p dt ≤
1
0
|u
(t)|
p dt.
En effet, on a pour tous t, 1 dans [0, 1],
u(t 1 ) − u(t) =
t1
t
du
dτ
dτ,
relation que l’on intègre par rapport à t sur [0, 1] pour obtenir
u(t 1 ) =
1
0
t1
t
u(τ )
dτ
dτ dt,
d’où l’on déduit que
1
0
|u(t 1 )|
p dt 1 ≤
1
0
1
0
t1
t
u(τ )
dτ
p
dτ dt dt 1
≤
1
0
|u
(τ )|
p dτ.