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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
contenu dans le disque unité et telle que
R 2
β(x)dx = 1
et définissons β δ par
β δ (x) = δ
−n β(δ
−1 x).
Fixons aussi une fonction γ, de classe C
∞ sur R
n qui vaut 1 sur la boule
unité est est identiquement nulle en dehors de la boule de rayon 2. Ainsi la
fonction
u δ (x) = γ(δx)u(x 1 + δ, x 2 , . . . , x n )
définie pour x 1 > −δ est à support compact et a des dérivées faibles jusqu’à
l’ordre s, qui convergent, en norme L
p , vers les dérivées faibles de u. De plus,
la convolution
β δ u δ (x) =
R n
β δ (x − y)u δ (y)dy
est C
∞ à support compact est converge (en norme ·· s,p ) vers u. Donc u est
bien dans W
s,p .
Ces dérivées faibles se comportent bien. En effet, même si ce n’est pas
évident, on a le résultat espéré :
Proposition 16.4.2. Soit U un ouvert borné de R
n et soit u ∈ W
1,p (U )
dont toutes les dérivées (faibles) d’ordre 1 sont identiquement nulles sur U .
Alors u est localement constante. Si l’on suppose de plus que u ∈ W
1,p
0 (U ),
alors u est identiquement nulle.
Démonstration. On suppose d’abord que U est un cube et que la valeur
moyenne de u est nulle. La fonction u est alors limite (pour la norme de
W
1,p
0 ) d’une suite (u ν ) de fonctions C
∞ à valeur moyenne nulle. Le lemme
(de Poincaré) ci-dessous affirme alors que cette suite converge vers 0 pour
la norme L
p . Donc u est nulle. On a ainsi démontré que u est constante sur
chaque cube où ses dérivées (faibles d’ordre 1) sont nulles. On en déduit le
résultat.
Le lemme de Poincaré utilisé dans cette démonstration est une inégalité :
Lemme 16.4.3 (inégalité de Poincaré). Pour p > 1 et pour U ouvert borné
de R
n , il existe une constante C (ne dépendant que de p et de U ) telle que,
pour toute fonction u ∈ W
1,p
0 (U ) (à support compact dans U ), on ait
u L p (U ) ≤ C grad u L p (U ) .
Si U = ]0, 1[
n est un cube, on a, pour tout u ∈ W
1,p (U ), de valeur moyenne
nulle
u L p (U ) ≤ n grad u L p (U ) .
CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
contenu dans le disque unité et telle que
R 2
β(x)dx = 1
et définissons β δ par
β δ (x) = δ
−n β(δ
−1 x).
Fixons aussi une fonction γ, de classe C
∞ sur R
n qui vaut 1 sur la boule
unité est est identiquement nulle en dehors de la boule de rayon 2. Ainsi la
fonction
u δ (x) = γ(δx)u(x 1 + δ, x 2 , . . . , x n )
définie pour x 1 > −δ est à support compact et a des dérivées faibles jusqu’à
l’ordre s, qui convergent, en norme L
p , vers les dérivées faibles de u. De plus,
la convolution
β δ u δ (x) =
R n
β δ (x − y)u δ (y)dy
est C
∞ à support compact est converge (en norme ·· s,p ) vers u. Donc u est
bien dans W
s,p .
Ces dérivées faibles se comportent bien. En effet, même si ce n’est pas
évident, on a le résultat espéré :
Proposition 16.4.2. Soit U un ouvert borné de R
n et soit u ∈ W
1,p (U )
dont toutes les dérivées (faibles) d’ordre 1 sont identiquement nulles sur U .
Alors u est localement constante. Si l’on suppose de plus que u ∈ W
1,p
0 (U ),
alors u est identiquement nulle.
Démonstration. On suppose d’abord que U est un cube et que la valeur
moyenne de u est nulle. La fonction u est alors limite (pour la norme de
W
1,p
0 ) d’une suite (u ν ) de fonctions C
∞ à valeur moyenne nulle. Le lemme
(de Poincaré) ci-dessous affirme alors que cette suite converge vers 0 pour
la norme L
p . Donc u est nulle. On a ainsi démontré que u est constante sur
chaque cube où ses dérivées (faibles d’ordre 1) sont nulles. On en déduit le
résultat.
Le lemme de Poincaré utilisé dans cette démonstration est une inégalité :
Lemme 16.4.3 (inégalité de Poincaré). Pour p > 1 et pour U ouvert borné
de R
n , il existe une constante C (ne dépendant que de p et de U ) telle que,
pour toute fonction u ∈ W
1,p
0 (U ) (à support compact dans U ), on ait
u L p (U ) ≤ C grad u L p (U ) .
Si U = ]0, 1[
n est un cube, on a, pour tout u ∈ W
1,p (U ), de valeur moyenne
nulle
u L p (U ) ≤ n grad u L p (U ) .