16.4. ESPACES DE SOBOLEV SUR R
n
523
une distribution à support compact, l’équation Lu = f admet une unique
solution faible à support compact u = E E f.
Démonstration. L’argument ci-dessus montre que u = E E f est bien une
solution. L’unicité de cette solution vient de ce qu’elle est à support compact : si u est une solution à support compact, les supports de u, L et E
vérifient la condition de convolutivité et la propriété d’associativité qui s’en
déduit donne
u = δ δ u = (E E (Lδ)) u = E E ((Lδ) u) = E E f.
16.4. Espaces de Sobolev sur R
n
Rappelons ici la définition des espaces de Sobolev. Ici U désigne un ouvert
de R
n . On appelle C
∞ (U ) l’espace des restrictions à U des fonctions C
∞
sur R
n et par C
∞
c (U ) l’espace des fonctions C
∞ à support compact sur U .
L’espace de Sobolev W
s,p (U ) est une complétion de l’espace des fonctions C
∞ sur U dont toutes les dérivées jusqu’à l’ordre s sont dans L
p (U ).
Plus précisément, on définit la norme ·· s,p d’une fonction C
∞ sur U par
u s,p =
U
|α|≤s
|∂
α u(x)|
p dx
1/p
.
L’espace de Sobolev W
s,p (U ) est le complété de C
∞ (U ) pour cette norme
et W
s,p
0 (U ) est l’adhérence de C
∞
c (U ).
En fait, ces espaces sont des espaces de distributions : les éléments de
W
s,p (U ) sont les fonctions qui ont des « dérivées faibles », comme nous le
montrons dans la proposition qui vient.
Proposition 16.4.1. Soit U un ouvert de R
n dont la frontière est une sousvariété de classe C
1 . Soit u ∈ L
p (U ). Alors u est dans W
s,p (U ) si et seulement si, pour tout α avec |α| ≤ s, il existe une fonction u α ∈ L
p (U ) telle
que, pour toute fonction ϕ ∈ C
∞
c (U ),
U
u(x)∂
α ϕ(x)dx = (−1)
|α|
U
u α (x)ϕ(x)dx.
Idée de démonstration de la proposition 16.4.1. Par un changement de coordonnées, on se ramène au cas où U est un demi-espace (x 1 > 0 pour fixer
les idées). Nous laissons aux lecteurs le soin de vérifier que les éléments de
W
s,p ont bien des dérivées faibles.
Supposons que u ait effectivement des dérivées faibles u α et montrons
que u ∈ W
s,p (U ). Fixons une fonction β de classe C
∞ sur R
2 , à support
n
523
une distribution à support compact, l’équation Lu = f admet une unique
solution faible à support compact u = E E f.
Démonstration. L’argument ci-dessus montre que u = E E f est bien une
solution. L’unicité de cette solution vient de ce qu’elle est à support compact : si u est une solution à support compact, les supports de u, L et E
vérifient la condition de convolutivité et la propriété d’associativité qui s’en
déduit donne
u = δ δ u = (E E (Lδ)) u = E E ((Lδ) u) = E E f.
16.4. Espaces de Sobolev sur R
n
Rappelons ici la définition des espaces de Sobolev. Ici U désigne un ouvert
de R
n . On appelle C
∞ (U ) l’espace des restrictions à U des fonctions C
∞
sur R
n et par C
∞
c (U ) l’espace des fonctions C
∞ à support compact sur U .
L’espace de Sobolev W
s,p (U ) est une complétion de l’espace des fonctions C
∞ sur U dont toutes les dérivées jusqu’à l’ordre s sont dans L
p (U ).
Plus précisément, on définit la norme ·· s,p d’une fonction C
∞ sur U par
u s,p =
U
|α|≤s
|∂
α u(x)|
p dx
1/p
.
L’espace de Sobolev W
s,p (U ) est le complété de C
∞ (U ) pour cette norme
et W
s,p
0 (U ) est l’adhérence de C
∞
c (U ).
En fait, ces espaces sont des espaces de distributions : les éléments de
W
s,p (U ) sont les fonctions qui ont des « dérivées faibles », comme nous le
montrons dans la proposition qui vient.
Proposition 16.4.1. Soit U un ouvert de R
n dont la frontière est une sousvariété de classe C
1 . Soit u ∈ L
p (U ). Alors u est dans W
s,p (U ) si et seulement si, pour tout α avec |α| ≤ s, il existe une fonction u α ∈ L
p (U ) telle
que, pour toute fonction ϕ ∈ C
∞
c (U ),
U
u(x)∂
α ϕ(x)dx = (−1)
|α|
U
u α (x)ϕ(x)dx.
Idée de démonstration de la proposition 16.4.1. Par un changement de coordonnées, on se ramène au cas où U est un demi-espace (x 1 > 0 pour fixer
les idées). Nous laissons aux lecteurs le soin de vérifier que les éléments de
W
s,p ont bien des dérivées faibles.
Supposons que u ait effectivement des dérivées faibles u α et montrons
que u ∈ W
s,p (U ). Fixons une fonction β de classe C
∞ sur R
2 , à support