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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Si u est une distribution à support compact et ϕ, ψ deux fonctions C
∞ à
supports compacts, on a une propriété d’associativité
(u u ϕ) ψ = u u (ϕ ϕ ψ).
Plus généralement, on peut convoler des distributions, par exemple deux
fonctions de L
1
loc , dont les supports A et B sont « convolutifs », c’est-à-dire
tels que
∀ R > 0, ∃ ρ(R) > 0 tel que
(x ∈ A, y ∈ B, x + y ≤ R) =⇒ (x ≤ ρ(R), y ≤ ρ(R)).
C’est un produit commutatif (et associatif).
On pourra ainsi définir la convolution d’une distribution de E
(U ) avec
une fonction C
∞ , ou d’une distribution quelconque avec une fonction C
∞ à
support compact, le résultat obtenu étant dans les deux cas une fonction C
∞ .
Une autre remarque utile est le fait que la masse de Dirac en 0, δ, est
une unité pour ce « produit »
δ δ ϕ = ϕ
(c’est une conséquence de la définition de la convolution).
16.3.d. Solution fondamentale, solutions faibles. Soit L un opérateur
différentiel. Si f est une fonction dans L
p
loc (ou plus généralement une distribution), on appelle solution faible de l’équation Lu = f une solution dans
l’espace des distributions. Si L est à coefficients constants, les propriétés de
la convolution, ci-dessus, impliquent que Lu = δ δ Lu = Lδ δ u, de sorte
que l’équation s’écrit aussi Lδ δ u = f . On appelle solution fondamentale de
l’équation Lu = 0, ou « solution fondamentale de L », une distribution E
qui satisfait à
Lδ δ E = L(E) = δ,
une écriture dans laquelle Lδ est considéré comme une distribution.
C’est le cas, par exemple, grâce à la formule de Cauchy, pour la fonction
1/πz lorsque L est l’opérateur ∂, comme nous le démontrerons au § 16.5.
Formellement, on peut espérer, si E est une solution fondamentale de L,
avoir pour toute fonction f ,
Lδ δ (E E f) = (Lδ δ E) f = δ δ f = f
et donc exprimer les solutions de Lu = f par convolution avec une solution
fondamentale. C’est bien le cas, et on a plus précisément :
Théorème 16.3.1 ([9, théorème 8.1.2]). Si L est un opérateur différentiel à
coefficients constants qui possède une solution fondamentale E et si f est
CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Si u est une distribution à support compact et ϕ, ψ deux fonctions C
∞ à
supports compacts, on a une propriété d’associativité
(u u ϕ) ψ = u u (ϕ ϕ ψ).
Plus généralement, on peut convoler des distributions, par exemple deux
fonctions de L
1
loc , dont les supports A et B sont « convolutifs », c’est-à-dire
tels que
∀ R > 0, ∃ ρ(R) > 0 tel que
(x ∈ A, y ∈ B, x + y ≤ R) =⇒ (x ≤ ρ(R), y ≤ ρ(R)).
C’est un produit commutatif (et associatif).
On pourra ainsi définir la convolution d’une distribution de E
(U ) avec
une fonction C
∞ , ou d’une distribution quelconque avec une fonction C
∞ à
support compact, le résultat obtenu étant dans les deux cas une fonction C
∞ .
Une autre remarque utile est le fait que la masse de Dirac en 0, δ, est
une unité pour ce « produit »
δ δ ϕ = ϕ
(c’est une conséquence de la définition de la convolution).
16.3.d. Solution fondamentale, solutions faibles. Soit L un opérateur
différentiel. Si f est une fonction dans L
p
loc (ou plus généralement une distribution), on appelle solution faible de l’équation Lu = f une solution dans
l’espace des distributions. Si L est à coefficients constants, les propriétés de
la convolution, ci-dessus, impliquent que Lu = δ δ Lu = Lδ δ u, de sorte
que l’équation s’écrit aussi Lδ δ u = f . On appelle solution fondamentale de
l’équation Lu = 0, ou « solution fondamentale de L », une distribution E
qui satisfait à
Lδ δ E = L(E) = δ,
une écriture dans laquelle Lδ est considéré comme une distribution.
C’est le cas, par exemple, grâce à la formule de Cauchy, pour la fonction
1/πz lorsque L est l’opérateur ∂, comme nous le démontrerons au § 16.5.
Formellement, on peut espérer, si E est une solution fondamentale de L,
avoir pour toute fonction f ,
Lδ δ (E E f) = (Lδ δ E) f = δ δ f = f
et donc exprimer les solutions de Lu = f par convolution avec une solution
fondamentale. C’est bien le cas, et on a plus précisément :
Théorème 16.3.1 ([9, théorème 8.1.2]). Si L est un opérateur différentiel à
coefficients constants qui possède une solution fondamentale E et si f est