16.3. ESPACES DE DISTRIBUTIONS, SOLUTIONS FAIBLES
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(2) Plus généralement, les combinaisons linéaires de dérivées partielles
(comme ∂, Δ), calculées en un point a, sont aussi des distributions.
(3) Si f est une fonction localement intégrable sur U , on peut définir,
pour toute ϕ ∈ C
∞
0 (U ),
f, ϕ =
f ϕ dx,
une forme linéaire qui est une distribution. Si deux fonctions localement
intégrables f et g sont égales presque partout sur U , elles définissent la
même forme linéaire. De plus, si la suite (f n ) converge vers f au sens de
la norme L
1 sur les compacts de U , alors elle tend vers f au sens des
distributions, de sorte que L
1
loc est ainsi un sous-espace de D
(U ). Il en est
de même de L
p
loc (avec l’inégalité de Hölder).
16.3.b. Dérivées. On définit les dérivées d’une distribution u (en pensant
à la formule d’intégration par parties et) par
∂u
∂x i
, ϕ
= −
u,
∂ϕ
∂x i
.
Il est facile de vérifier que la forme linéaire ainsi définie est bien une distribution. On peut donc itérer l’opération.
Par exemple, δ est la dérivée de la fonction H de Heaviside (celle qui
vaut 0 pour x < 0 et 1 pour x ≥ 0) : H est localement intégrable, donc une
distribution et les règles de calcul donnent
H
, ϕ = −
H(x)ϕ
(x) dx = −
∞
0
ϕ
(x) dx = ϕ(0).
16.3.c. Convolution. En copiant la définition de la convolution de deux
fonctions (disons, ici, u intégrable et ϕ de classe C
∞ ),
(u u ϕ)(x) =
ϕ(x − y)u(y) dy = u(y), ϕ(x − y),
on peut convoler une distribution à support compact et une fonction C
∞ à
support compact en définissant, pour u ∈ E
(R
n ) et tout ϕ ∈ C
∞
0 (R
n ) et
en chaque point x
(u u ϕ)(x) = u(y), ϕ(x − y).
Nous renvoyons (par exemple) au cours [9] pour toutes les propriétés de
la convolution et notamment pour celles qui suivent. La fonction u u ϕ ainsi
définie est dans C
∞
0 (R
n ), son support satisfait à
Supp(u u ϕ) ⊂ Supp u + Supp ϕ,
et ses dérivées à
∂
α
∂x α (u u ϕ) = u u
∂
α ϕ
∂x α
=
∂
α u
∂x α
ϕ.
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(2) Plus généralement, les combinaisons linéaires de dérivées partielles
(comme ∂, Δ), calculées en un point a, sont aussi des distributions.
(3) Si f est une fonction localement intégrable sur U , on peut définir,
pour toute ϕ ∈ C
∞
0 (U ),
f, ϕ =
f ϕ dx,
une forme linéaire qui est une distribution. Si deux fonctions localement
intégrables f et g sont égales presque partout sur U , elles définissent la
même forme linéaire. De plus, si la suite (f n ) converge vers f au sens de
la norme L
1 sur les compacts de U , alors elle tend vers f au sens des
distributions, de sorte que L
1
loc est ainsi un sous-espace de D
(U ). Il en est
de même de L
p
loc (avec l’inégalité de Hölder).
16.3.b. Dérivées. On définit les dérivées d’une distribution u (en pensant
à la formule d’intégration par parties et) par
∂u
∂x i
, ϕ
= −
u,
∂ϕ
∂x i
.
Il est facile de vérifier que la forme linéaire ainsi définie est bien une distribution. On peut donc itérer l’opération.
Par exemple, δ est la dérivée de la fonction H de Heaviside (celle qui
vaut 0 pour x < 0 et 1 pour x ≥ 0) : H est localement intégrable, donc une
distribution et les règles de calcul donnent
H
, ϕ = −
H(x)ϕ
(x) dx = −
∞
0
ϕ
(x) dx = ϕ(0).
16.3.c. Convolution. En copiant la définition de la convolution de deux
fonctions (disons, ici, u intégrable et ϕ de classe C
∞ ),
(u u ϕ)(x) =
ϕ(x − y)u(y) dy = u(y), ϕ(x − y),
on peut convoler une distribution à support compact et une fonction C
∞ à
support compact en définissant, pour u ∈ E
(R
n ) et tout ϕ ∈ C
∞
0 (R
n ) et
en chaque point x
(u u ϕ)(x) = u(y), ϕ(x − y).
Nous renvoyons (par exemple) au cours [9] pour toutes les propriétés de
la convolution et notamment pour celles qui suivent. La fonction u u ϕ ainsi
définie est dans C
∞
0 (R
n ), son support satisfait à
Supp(u u ϕ) ⊂ Supp u + Supp ϕ,
et ses dérivées à
∂
α
∂x α (u u ϕ) = u u
∂
α ϕ
∂x α
=
∂
α u
∂x α
ϕ.