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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Remarque. Comme nous l’avons signalé (page 200) nous utilisons « opérateur
à indice », une terminologie claire, de façon concurrente et équivalente à
« opérateur de Fredholm », une terminologie plus usitée aujourd’hui.
Le théorème d’inversion locale dans les espaces de Banach (voir [15])
permet de démontrer, comme en dimension finie :
Théorème 16.2.13. Soit F : E → F une application de Fredholm et soit
y ∈ F tel que
∀ x ∈ F
−1 (y), T x F : E −→ F
est surjective. Alors F
−1 (y) est une variété de dimension Ind(F) et son
espace tangent en x est Ker T x F.
16.3. Espaces de distributions, solutions faibles
16.3.a. Distributions. Nous rappelons rapidement les définitions de base
de la théorie des distributions. Nous renvoyons les lecteurs à leur livre préféré. Pour notre part, nous avons utilisé [9].
Pour tout ouvert U de R
n , on considère l’espace C
∞
0 (U ) des fonctions
de classe C
∞ à support compact dans U . L’espace D
(U ) des distributions
sur U est un dual de C
∞
0 (U ), précisément, c’est l’espace des formes linéaires
sur C
∞
0 (U ), continues au sens où, pour tout compact K ⊂ U , il existe un
entier p et une constante C tels que
pour toute ϕ ∈ C
∞
0 (U ) à support dans K, ||u, ϕ ≤ C sup
x∈K
|α|≤p
∂
α ϕ
∂x α (x)
.
On dit qu’une suite u n de distributions converge vers une forme linéaire u
si l’on a
pour toute ϕ ∈ C
∞
0 (U ),
lim
n→+∞
u n , ϕ = u, ϕ.
Ce n’est pas complètement une trivialité, mais la limite u est alors une
distribution elle aussi.
On définit le support d’une distribution de façon évidente (comme le
complémentaire du plus grand ouvert en restriction auquel la distribution
est nulle) et on note E
(U ) l’espace des distributions à support compact
dans U .
Exemples.
(1) L’évaluation des fonctions en un point donné de U définit une forme
linéaire sur C
∞
0 (U ) qui est une distribution,
δ a , ϕ = ϕ(a),
la masse de Dirac en a (on note δ = δ 0 ).
CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Remarque. Comme nous l’avons signalé (page 200) nous utilisons « opérateur
à indice », une terminologie claire, de façon concurrente et équivalente à
« opérateur de Fredholm », une terminologie plus usitée aujourd’hui.
Le théorème d’inversion locale dans les espaces de Banach (voir [15])
permet de démontrer, comme en dimension finie :
Théorème 16.2.13. Soit F : E → F une application de Fredholm et soit
y ∈ F tel que
∀ x ∈ F
−1 (y), T x F : E −→ F
est surjective. Alors F
−1 (y) est une variété de dimension Ind(F) et son
espace tangent en x est Ker T x F.
16.3. Espaces de distributions, solutions faibles
16.3.a. Distributions. Nous rappelons rapidement les définitions de base
de la théorie des distributions. Nous renvoyons les lecteurs à leur livre préféré. Pour notre part, nous avons utilisé [9].
Pour tout ouvert U de R
n , on considère l’espace C
∞
0 (U ) des fonctions
de classe C
∞ à support compact dans U . L’espace D
(U ) des distributions
sur U est un dual de C
∞
0 (U ), précisément, c’est l’espace des formes linéaires
sur C
∞
0 (U ), continues au sens où, pour tout compact K ⊂ U , il existe un
entier p et une constante C tels que
pour toute ϕ ∈ C
∞
0 (U ) à support dans K, ||u, ϕ ≤ C sup
x∈K
|α|≤p
∂
α ϕ
∂x α (x)
.
On dit qu’une suite u n de distributions converge vers une forme linéaire u
si l’on a
pour toute ϕ ∈ C
∞
0 (U ),
lim
n→+∞
u n , ϕ = u, ϕ.
Ce n’est pas complètement une trivialité, mais la limite u est alors une
distribution elle aussi.
On définit le support d’une distribution de façon évidente (comme le
complémentaire du plus grand ouvert en restriction auquel la distribution
est nulle) et on note E
(U ) l’espace des distributions à support compact
dans U .
Exemples.
(1) L’évaluation des fonctions en un point donné de U définit une forme
linéaire sur C
∞
0 (U ) qui est une distribution,
δ a , ϕ = ϕ(a),
la masse de Dirac en a (on note δ = δ 0 ).