16.2. THÉORIE DE FREDHOLM
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Montrons maintenant que Im(L) est un sous-espace fermé de F . Supposons que (x k ) soit une suite d’éléments de E telle que la suite (L(x k ))
converge vers un élément y ∈ F et montrons que y est dans l’image de L.
– Si la suite (x k ) est bornée, l’inégalité donne
x k E ≤ C (L(x k ) F + K(x k ) G )
avec L(x k ) → y dans F et K(x k ) reste dans un compact de G. Donc (x k )
possède une sous-suite qui est de Cauchy et donc convergente. Sa limite x
vérifie y = L(x).
– Si la suite (x k ) n’est pas bornée, montrons que l’on aboutit à une
contradiction. Elle possède une sous-suite avec
lim
k→+∞
x k = +∞.
Comme Ker L est un sous-espace de dimension finie, on peut lui trouver un
supplémentaire
(4) E 0 et on peut supposer que x k ∈ E 0 pour tout k. Soit
u k =
x k
x k E
∈ E 0 .
Notre inégalité donne
u k E ≤ C (L(u k ) F + K(u k ) G ) .
Encore une fois, la suite (K(u k )) possède une sous-suite convergente, ici la
suite (L(u k )) converge vers 0, donc on peut supposer que la suite (u k ) est
de Cauchy et donc qu’elle converge dans E 0 vers une limite
u ∈ Ker L ∩ E 0 = {0} ,
donc u = 0 alors qu’elle devrait aussi avoir norme 1, la contradiction espérée.
16.2.d. Applications de Fredholm. Pour une application différentiable
F : E −→ F
d’un espace de Banach dans un autre, on dit qu’elle est de Fredholm si elle
possède en tout point une différentielle (continue)
T x F : E −→ F
qui est un opérateur à indice. Remarquons qu’alors l’indice de T x F ne dépend pas de x (en vertu du théorème 16.2.9 et de la remarque 16.2.11). On
le note donc Ind(F).
(4) C’est une conséquence simple du théorème de Hahn-Banach.