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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Théorème 16.2.10. Soit L : E → F un opérateur à indice entre deux espaces
de Banach. Pour tout opérateur compact K : E → F , l’opérateur L + K
admet un indice et
Ind(L + K) = Ind(L).
Démonstration. On utilise toujours l’opérateur L
de la proposition 16.2.5 ;
les opérateurs
(L + K) ◦ L
− Id F et L
◦ (L + K) − Id E
sont compacts, donc L + K admet un indice (théorème 16.2.8). De même
L + tK pour tout t ∈ [0, 1], et donc, grâce au théorème 16.2.9,
Ind(L + K) = Ind(L).
Remarque 16.2.11. Le théorème 16.2.9 affirme que l’indice est une application continue sur l’ensemble des opérateurs à indice, qui est un ouvert dans
l’espace des opérateurs de E dans F .
Remarque 16.2.12. L’opérateur Id E +K, dont la proposition 16.2.7 affirme
qu’il a un indice, est donc d’indice nul.
16.2.c. Un autre résultat utile. Pour démontrer que l’opérateur L linéarisé de l’équation de Floer est un opérateur de Fredholm, nous avons utilisé
la proposition 8.7.4, que nous ré-énonçons ici :
Proposition (proposition 8.7.4). Soient E, F et G trois espaces de Banach.
Soient L : E → F un opérateur et K : E → G un opérateur compact. On
suppose qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀ x ∈ E, x E ≤ C (L(x) F + K(x) G ) .
Alors le noyau de L est de dimension finie et son image est fermée.
Démonstration. La démonstration est inspirée de celle de la proposition 16.2.7. Montrons d’abord que Ker L est un sous-espace de dimension
finie de E. Pour cela, montrons que sa boule unité est compacte. Soit (x k )
une suite d’éléments de cette boule :
x k E ≤ 1 et L(x k ) = 0.
L’hypothèse est
x k E ≤ C K(x k ) .
L’image de la boule unité par K est compacte, donc, quitte à extraire une
sous-suite, on peut supposer que la suite (K(x k )) converge dans G. Ceci
implique que la suite (x k ) est de Cauchy et donc, comme E est complet,
qu’elle converge dans E et donc dans la boule unité. Ce qui en prouve la
compacité.
CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
Théorème 16.2.10. Soit L : E → F un opérateur à indice entre deux espaces
de Banach. Pour tout opérateur compact K : E → F , l’opérateur L + K
admet un indice et
Ind(L + K) = Ind(L).
Démonstration. On utilise toujours l’opérateur L
de la proposition 16.2.5 ;
les opérateurs
(L + K) ◦ L
− Id F et L
◦ (L + K) − Id E
sont compacts, donc L + K admet un indice (théorème 16.2.8). De même
L + tK pour tout t ∈ [0, 1], et donc, grâce au théorème 16.2.9,
Ind(L + K) = Ind(L).
Remarque 16.2.11. Le théorème 16.2.9 affirme que l’indice est une application continue sur l’ensemble des opérateurs à indice, qui est un ouvert dans
l’espace des opérateurs de E dans F .
Remarque 16.2.12. L’opérateur Id E +K, dont la proposition 16.2.7 affirme
qu’il a un indice, est donc d’indice nul.
16.2.c. Un autre résultat utile. Pour démontrer que l’opérateur L linéarisé de l’équation de Floer est un opérateur de Fredholm, nous avons utilisé
la proposition 8.7.4, que nous ré-énonçons ici :
Proposition (proposition 8.7.4). Soient E, F et G trois espaces de Banach.
Soient L : E → F un opérateur et K : E → G un opérateur compact. On
suppose qu’il existe une constante C > 0 telle que
∀ x ∈ E, x E ≤ C (L(x) F + K(x) G ) .
Alors le noyau de L est de dimension finie et son image est fermée.
Démonstration. La démonstration est inspirée de celle de la proposition 16.2.7. Montrons d’abord que Ker L est un sous-espace de dimension
finie de E. Pour cela, montrons que sa boule unité est compacte. Soit (x k )
une suite d’éléments de cette boule :
x k E ≤ 1 et L(x k ) = 0.
L’hypothèse est
x k E ≤ C K(x k ) .
L’image de la boule unité par K est compacte, donc, quitte à extraire une
sous-suite, on peut supposer que la suite (K(x k )) converge dans G. Ceci
implique que la suite (x k ) est de Cauchy et donc, comme E est complet,
qu’elle converge dans E et donc dans la boule unité. Ce qui en prouve la
compacité.