16.2. THÉORIE DE FREDHOLM
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De ces propositions, on déduit les trois résultats essentiels pour la théorie
des opérateurs de Fredholm.
Théorème 16.2.8. Soit L : E → F un opérateur entre espaces de Banach.
Pour que L soit un opérateur à indice, il faut et il suffit qu’il existe L
:
F → E, tel que
L ◦ L
− Id F et L ◦ L
− Id E
soient des opérateurs compacts.
Démonstration. Les opérateurs de rang fini sont compacts, donc la proposition 16.2.5 donne le fait que la condition est nécessaire. Ensuite, on a
Ker(L) ⊂ Ker(L
◦ L) et Im(L) ⊃ Im(L ◦ L
)
donc le résultat est conséquence de la proposition précédente.
Théorème 16.2.9 (invariance de l’indice par petites perturbations). Soit L :
E → F un opérateur à indice entre deux espaces de Banach. Il existe une
constante ε > 0 telle que, pour tout opérateur u : E → F de norme u < ε,
L + u soit un opérateur à indice, d’indice
Ind(L + u) = Ind(L).
Démonstration. On utilise un opérateur L
comme donné par la proposition 16.2.5 et on pose
ε =
1
L
.
Ainsi, pour u < ε, les opérateurs Id F +u◦L
et Id E +L
◦u sont inversibles.
En particulier, leur indice est nul et l’on a
(L + u) ◦ L
= L ◦ L
+ u ◦ L
= Id F +A + u ◦ L
pour un opérateur A de rang fini. Comme Id F +u◦L
est inversible, Id F +A+
u ◦ L
a un indice nul (grâce à la proposition 16.2.6). Comme
Im((L + u) ◦ L
) ⊂ Im(L + u),
cette image est de codimension finie. On montre de même que Ker(L + u)
est de dimension finie. Enfin, on a d’une part
Ind(L + u) + Ind(L
) = 0
et de l’autre
Ind(L) + Ind(L
) = 0,
d’où l’on déduit que
Ind(L + u) = Ind(L).