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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
dont les flèches verticales forment une suite exacte courte de complexes. On
en déduit que
Ind(L) + Ind(L
) = Ind(L
◦ L ⊕ Id F ) = Ind(L
◦ L) + Ind(Id F ) = Ind(L
◦ L).
Les opérateurs à indice en ce sens sont bien ceux que nous avons appelés
opérateurs à indice au chapitre 8, puisqu’on a en effet :
Proposition 16.2.4. Soit L : E → F un opérateur dont l’image est de codimension finie. Alors son image est fermée.
Démonstration. Appelons G un supplémentaire (algébrique) de Im L dans F
et considérons l’application linéaire
E ⊕ G −→ F
(x, y) −→ L(x) + y.
Comme G est de dimension finie, elle est continue. De plus, elle est surjective. D’après le théorème de Banach, l’image du sous-espace fermé E × {0}
est un sous-espace fermé.
16.2.b. Les propriétés de base.
Proposition 16.2.5. Soit L : E → F un opérateur entre deux espaces de
Banach. Pour que L soit un opérateur à indice, il faut et il suffit qu’il existe
un opérateur L
: F → E tel que L ◦ L
− Id F et L ◦ L
− Id E soient de rang
fini. Lorsque c’est le cas, L
est aussi un opérateur à indice et
Ind(L
) = − Ind(L).
Cet indice s’appelle aussi l’indice de Fredholm de l’opérateur.
Démonstration. Supposons pour commencer que L soit un opérateur à indice. On choisit un supplémentaire E 0 de Ker L dans E, de sorte que la
restriction L 0 de L à E 0 est un isomorphisme de E 0 sur Im(L). On considère l’inverse L
−1
0
de L 0 . On choisit aussi une projection p : F → Im(L),
que l’on choisit continue, et on pose
L
= L
−1
0 ◦ p.
Ainsi L
est continu. On a Im(L
◦ L − Id E ) = Ker(L) et Im(L ◦ L
− Id F ) =
Ker p, qui sont tous les deux de dimension finie. On a
L ◦ L
◦ L = L et L
◦ L ◦ L
= L
.