16.2. THÉORIE DE FREDHOLM
515
Réciproquement, si L
a les deux propriétés, montrons que L et L
sont
des opérateurs à indice. Posons A = L ◦ L
− Id E et B = L
◦ L − Id F . On a
Ker(L) ⊂ Ker(L
◦ L) ⊂ Ker(B)
(ce noyau est donc de dimension finie) et
Im(L) ⊃ Im(L ◦ L
) = Im(Id E +A).
Si G = Ker(A), E/G est isomorphe à Im(A) donc de dimension finie.
Donc G est de codimension finie. Mais Id E +A vaut Id E sur Ker(A), donc
Im(Id E +A) ⊃ G, de sorte que cette image est bien de codimension finie.
Ainsi L (et L
aussi) a un indice. La formule pour l’indice résulte de la
formule d’additivité dans la proposition 16.2.3 et de la proposition qui suit,
qui va impliquer que l’indice de Id E +A est nul.
Proposition 16.2.6. Si u : E → E est un opérateur de rang fini,
Ind(Id E +u) = 0.
Si L : E → F est un opérateur à indice et si u : E → F est un opérateur de
rang fini, alors L + u a un indice qui est
Ind(L + u) = Ind(L).
Démonstration. La première assertion est un calcul de dimensions, que l’on
peut traiter par caractéristique d’Euler. On pose G = Im(u). C’est un sousespace de dimension finie de E et il est stable par Id E +u. Le diagramme
de suites exactes de complexes est :
0
0
0
/ / G
Id G +u
/ /
G
/ /
0
0
/ / E
Id E +u
/ /
E
/ /
0
0
/ / E/G
Id E/G / /
E/G
/ /
0
0
0
(les flèches verticales sont inclusion et projection). L’indice est alors la
somme
Ind(Id E +u) = Ind(Id G +u) + Ind(Id E/G ),
le premier est nul parce que G est de dimension finie, le deuxième parce que
l’indice de l’identité est toujours nul.