16.2. THÉORIE DE FREDHOLM
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(2) si H est un espace vectoriel de dimension finie m, L ⊗ Id H est un
opérateur à indice, d’indice Ind(L ⊗ Id H ) = m Ind(L),
(3) L
◦ L est un opérateur à indice et Ind(L
◦ L) = Ind(L
) + Ind(L).
Démonstration. La première assertion est claire et la deuxième en est une
conséquence, en choisissant une base de H et écrivant
E ⊗ H ∼ = E ⊕ · · · ⊕ E et L ⊗ Id H = L ⊕ · · · ⊕ L.
En application de la remarque 16.2.2, on aurait aussi pu considérer, pour
démontrer la première assertion, la suite exacte courte de complexes
0
0
0
/ / E 0
L 0
/ /
F 0
/ / 0
0
/ / E 0 ⊕ E 1
L 0 ⊕ L 1 / /
F 0 ⊕ F 1
/ / 0
0
/ / E 1
L 1
/ /
F 1
/ / 0
0
0
et appliquer l’additivité de la caractéristique d’Euler
(2) . Ce qui introduit
l’argument élégant que Grisvard utilise pour démontrer la troisième assertion, que nous reproduisons ici. On considère cette fois le diagramme commutatif
0
0
0
/ / E
L
/ /
(Id E , L)
F
/ /
(L
, Id F )
0
0
/ / E ⊕ F
L
◦ L ⊕ Id F / /
L − Id F
G ⊕ F
/ /
Id G −L
0
0
/ / F
L
/ /
G
/ /
0
0
0
(2) Celle-ci est conséquence de l’existence d’une suite exacte longue associée à une suite
exacte courte de complexes, voir le § 15.1.b.