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CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
16.2. Théorie de Fredholm
Conformément à l’habitude et pour simplifier, nous appellerons dans ce
chapitre
(1) opérateur d’un espace vectoriel normé dans un autre, une application linéaire continue (ce qui se dit parfois en anglais bounded linear
map).
16.2.a. Opérateurs à indice. On dit qu’un opérateur L d’un espace de
Banach E dans un espace de Banach F est à indice si Ker L est un sousespace de dimension finie et Im L est un sous-espace de codimension finie
(ou Coker L est un espace de dimension finie). L’indice de l’opérateur est
alors
Ind(L) = dim Ker L − dim Coker L.
Exemples 16.2.1.
(1) Par exemple, un opérateur bijectif est un opérateur à indice, d’indice
nul.
(2) Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toute application linéaire L : E → E est d’indice nul... puisque cette assertion est équivalente à
dim Ker L + dim Im L = dim E.
Remarque 16.2.2. Si L : E → F est un opérateur à indice, alors Ind(L) est
la caractéristique d’Euler du complexe
0 −→ E
L
−−→ F −→ 0
puisque dans ce cas simple, cette caractéristique d’Euler est
χ = dim(Ker L/ {0}) − dim(F/ Im(L)).
La théorie des opérateurs à indice est très bien expliquée dans l’exposé
de Grisvard [34], que nous avons pillé ici sans vergogne, en espérant que
ce pillage nous sera pardonné par la publicité qu’il procurera (nous n’en
doutons pas) à cet article méconnu. Voici une première liste de propriétés
qui se vérifient toutes directement.
Proposition 16.2.3. Soient L 0 : E 0 → F 0 , L 1 : E 1 → F 1 , L : E → F ,
L
: F → G des opérateurs à indice. Alors on a
(1) L 0 ⊕ L 1 est un opérateur à indice et
Ind(L 0 ⊕ L 1 ) = Ind(L 0 ) + Ind(L 1 ),
(1) Dans le reste du livre, il nous arrive d’appeler « opérateurs » des applications différentiables (pas nécessairement linéaires) et de considérer des opérateurs non continus. En
principe, ce dont il s’agit est toujours précisé.
CHAPITRE 16. UN PEU D’ANALYSE
16.2. Théorie de Fredholm
Conformément à l’habitude et pour simplifier, nous appellerons dans ce
chapitre
(1) opérateur d’un espace vectoriel normé dans un autre, une application linéaire continue (ce qui se dit parfois en anglais bounded linear
map).
16.2.a. Opérateurs à indice. On dit qu’un opérateur L d’un espace de
Banach E dans un espace de Banach F est à indice si Ker L est un sousespace de dimension finie et Im L est un sous-espace de codimension finie
(ou Coker L est un espace de dimension finie). L’indice de l’opérateur est
alors
Ind(L) = dim Ker L − dim Coker L.
Exemples 16.2.1.
(1) Par exemple, un opérateur bijectif est un opérateur à indice, d’indice
nul.
(2) Si E est un espace vectoriel de dimension finie, toute application linéaire L : E → E est d’indice nul... puisque cette assertion est équivalente à
dim Ker L + dim Im L = dim E.
Remarque 16.2.2. Si L : E → F est un opérateur à indice, alors Ind(L) est
la caractéristique d’Euler du complexe
0 −→ E
L
−−→ F −→ 0
puisque dans ce cas simple, cette caractéristique d’Euler est
χ = dim(Ker L/ {0}) − dim(F/ Im(L)).
La théorie des opérateurs à indice est très bien expliquée dans l’exposé
de Grisvard [34], que nous avons pillé ici sans vergogne, en espérant que
ce pillage nous sera pardonné par la publicité qu’il procurera (nous n’en
doutons pas) à cet article méconnu. Voici une première liste de propriétés
qui se vérifient toutes directement.
Proposition 16.2.3. Soient L 0 : E 0 → F 0 , L 1 : E 1 → F 1 , L : E → F ,
L
: F → G des opérateurs à indice. Alors on a
(1) L 0 ⊕ L 1 est un opérateur à indice et
Ind(L 0 ⊕ L 1 ) = Ind(L 0 ) + Ind(L 1 ),
(1) Dans le reste du livre, il nous arrive d’appeler « opérateurs » des applications différentiables (pas nécessairement linéaires) et de considérer des opérateurs non continus. En
principe, ce dont il s’agit est toujours précisé.