CHAPITRE 16
UN PEU D’ANALYSE
Nous rappelons d’abord l’énoncé du théorème d’Ascoli. Puis nous indiquons les bases de la théorie de Fredholm. Nous démontrons ensuite les
lemmes de régularité elliptique, ainsi que les propriétés du ∂ que nous avons
eu l’occasion d’utiliser au long de ce texte.
16.1. Le théorème d’Ascoli
Rappelons l’énoncé de ce très utile théorème, qui caractérise les parties
relativement compactes de l’espace des fonctions continues sur un espace
compact et que nous utilisons dans plusieurs énoncés de compacité. Voir [13]
pour cet énoncé et des références.
Théorème 16.1.1 (d’Ascoli). Soient (E, d) un espace métrique compact et F
une famille bornée de fonctions continues f : E → R, uniformément équicontinue sur E, c’est-à-dire telles que
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que ∀ f ∈ F, d(x, y) < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε.
Alors F est relativement compacte dans l’espace des fonctions continues
sur E.
Autrement dit, de toute suite d’éléments de F, on peut extraire une suite
qui converge uniformément sur E (vers une fonction continue).
Remarque 16.1.2. Dans tous les cas où nous avons appliqué ce théorème
dans ce texte, la famille de fonctions considérée était équicontinue parce
qu’« équilipschitzienne ».
UN PEU D’ANALYSE
Nous rappelons d’abord l’énoncé du théorème d’Ascoli. Puis nous indiquons les bases de la théorie de Fredholm. Nous démontrons ensuite les
lemmes de régularité elliptique, ainsi que les propriétés du ∂ que nous avons
eu l’occasion d’utiliser au long de ce texte.
16.1. Le théorème d’Ascoli
Rappelons l’énoncé de ce très utile théorème, qui caractérise les parties
relativement compactes de l’espace des fonctions continues sur un espace
compact et que nous utilisons dans plusieurs énoncés de compacité. Voir [13]
pour cet énoncé et des références.
Théorème 16.1.1 (d’Ascoli). Soient (E, d) un espace métrique compact et F
une famille bornée de fonctions continues f : E → R, uniformément équicontinue sur E, c’est-à-dire telles que
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que ∀ f ∈ F, d(x, y) < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε.
Alors F est relativement compacte dans l’espace des fonctions continues
sur E.
Autrement dit, de toute suite d’éléments de F, on peut extraire une suite
qui converge uniformément sur E (vers une fonction continue).
Remarque 16.1.2. Dans tous les cas où nous avons appliqué ce théorème
dans ce texte, la famille de fonctions considérée était équicontinue parce
qu’« équilipschitzienne ».