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CHAPITRE 15. UN PEU DE TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
(vérification directe), mais que le morphisme induit par i (resp. par j) n’est
en général pas injectif (resp. surjectif). Ce défaut d’exactitude est « mesuré »
par une suite exacte longue
H k (A)
/ / H k (B)
/ / H k (C)
∂ i i i i i i i i i
t t i i i i i i i i i
H k−1 (A)
/ / · · ·
Contentons-nous ici d’indiquer comment le connectant ∂ est défini (toutes
les vérifications restantes sont analogues et directes). Soit donc [c] ∈ H k (C),
un élément représenté par un c ∈ C k avec ∂ C (c) = 0. Le diagramme
0
A k−1
i
∂ A / / A k−2
B k
∂ B / /
j
B k−1
j
C k
∂ C
/ / C k−1
0
donne c = j(b), avec
j(∂ B b) = ∂ C (j(b)) = ∂ C c = 0
donc ∂ B (b) ∈ Ker(j), puis ∂ B (b) = i(a) pour un certain a ∈ A k−1 . De plus,
cet élément est un cycle : on a
i(∂ A a) = ∂ B (i(a)) = ∂ B ∂ B (b) = 0
et i est injectif.
15.2. Classes de Chern
Deuxième groupe de cohomologie. Nous avons mentionné, bien qu’assez peu
utilisé, la première classe de Chern d’un fibré vectoriel complexe. Celle-ci
vit dans le groupe de cohomologie H
2 (W ; Z), obtenu, par exemple, par le
complexe de Morse comme dans la première partie de ce livre.