15.1. UN PEU D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE
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(nous calculons modulo 2). Finalement,
∂
b
z
i+1
b
⊗ ∂
−1 t
j−1
b
, 0
=
a
x
i
a ⊗ y
j
a ,
b
z
i+1
b
⊗ t
j−1
b
,
de sorte que notre élément du noyau de ∂ i+j est dans l’image de ∂ i+j+1 .
Considérons maintenant le cas général d’un complexe D • de longueur 2.
Décomposons D j et D j−1 comme sommes directes
D j = Ker(∂) ⊕ D
j
et D j−1 = E
j−1 ⊕ Im(∂).
Ainsi D • est somme directe des deux complexes
0 −→ Ker(∂)
0
− − → E j−1 −→ 0 et 0 −→ D
j
∼ =
− −− → Im(∂) −→ 0
et le résultat se déduit des études précédentes.
Finalement, supposons la proposition démontrée pour les complexes de
longueur k et soit D • un complexe de longueur k + 1,
0 −→ D k+1
∂
− − → D k −→ · · · −→ D 1 −→ 0.
On décompose comme ci-dessus
D k+1 = Ker(∂) ⊕ D
k+1
et D k = Im(∂) ⊕ E
k .
Le complexe est alors sommes des trois complexes
0 −→ Ker(∂) −→ 0,
0 −→ E
k −→ D k−1 −→ · · ·
0 −→ D
k+1
∼ =
− −− → Im(∂) −→ 0
et
tous de longueur inférieure à k + 1.
Remarque 15.1.2. C’est au moment de décomposer D j ou D k+1 en somme
directe du noyau de ∂ et d’un supplémentaire que l’on utilise vraiment
le fait que nos complexes sont des complexes d’espaces vectoriels (et pas
simplement de modules sur un anneau commutatif).
15.1.b. Suites exactes de complexes. Rappelons rapidement ici que,
si A • , B • et C • sont des complexes, une suite exacte de morphismes de
complexes
0 −→ A •
i
− − → B •
j
− − → C • −→ 0
induit, pour chaque k, une suite exacte
H k (A)
i
− −− → H k (B)
j
− −− → H k (C)