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CHAPITRE 15. UN PEU DE TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
Proposition 15.1.1. L’homologie du complexe produit tensoriel est le produit
tensoriel des homologies
H (C • ⊗ D • ) = H (C • ) ⊗ H (D • ).
Démonstration. Remarquons d’abord que
– C ⊗ 0 = 0 ;
– H (C • ⊕ C
•
) = H (C • ) ⊕ H (C
•
) ;
– (C ⊕ C
) ⊗ D = C ⊗ D ⊕ C
⊗ D ;
– si la proposition est vraie pour C • et D • et aussi pour C
•
et D • , alors
elle est vraie pour (C ⊕ C
) • et D • .
On montre donc la proposition par récurrence sur la longueur (D • ) du
deuxième complexe, où, naturellement,
(D • ) = # {j | D j = 0} .
Il n’y a rien à démontrer pour (D • ) = 1. Considérons le cas d’un complexe
de longueur 2. Si les deux espaces vectoriels non nuls dans D • n’ont pas
des indices consécutifs, a propriété est claire par somme directe. Supposons
donc que le complexe D • est
0 −→ D j−1
∂
− − → D j−1 −→ 0.
Si ∂ = 0, on a aussi le résultat par somme directe.
Supposons d’abord que ∂ est un isomorphisme. Dans ce cas, l’homologie
du complexe D • est nulle et nous voulons donc montrer que l’homologie de
(C ⊗ D) • est nulle. Considérons donc un élément du noyau de
∂ i+j : C i ⊗ D j ⊕ C i+1 ⊗ D j−1 −→ C i−1 ⊗ D j ⊕ C i ⊗ D j−1
(les exposants indiquent les degrés) et montrons qu’il est dans l’image de
∂ i+j+1 : C i+1 ⊗ D j −→ C i ⊗ D j .
On écrit donc
∂
a
x
i
a ⊗ y
j
a ,
b
z
i+1
b
⊗ t
j−1
b
= 0,
c’est-à-dire
a
(∂x
i
a ) ⊗ y
j
a = 0
a
x
i
a ⊗ ∂y
i
a +
b
∂z
i+1
b
⊗ t
j−1
b
= 0.
et
Avec notre hypothèse, ∂
D est un isomorphisme. Appliquons donc Id ⊗∂
−1
à cette deuxième relation. On obtient
a
x
i
a ⊗ y
j
a =
b
∂z
i+1
b
⊗ ∂
−1 t
j−1
b