CHAPITRE 15
UN PEU DE TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
Dans un ouvrage consacré à l’homologie (de Morse, de Floer), nous utilisons forcément un peu d’algèbre homologique (formule de Künneth, suites
exactes longues). Mais nous avons eu besoin aussi d’un minimum de topologie algébrique (groupes d’homotopie, première classe de Chern...). Nous
dressons un inventaire de tout ceci dans ce chapitre.
15.1. Un peu d’algèbre homologique
Rappelons (voir par exemple [19]) qu’un complexe est une suite C • de
modules munis d’applications linéaires
∂ : C k −→ C k−1
telles que ∂ ◦ ∂ = 0.
15.1.a. La formule de Künneth sur Z/2. Dans ce paragraphe, C • et D •
sont des complexes d’espaces vectoriels
(1) sur Z/2. Leur produit tensoriel
est le complexe défini par
(C ⊗ D) k =
i+j=k
C i ⊗ D j
avec la différentielle
∂
C⊗D
k
(c ⊗ d) = ((∂
C
i c) ⊗ d, c ⊗ (∂
D
j d) ∈ C i−1 ⊗ D j ⊕ C i ⊗ D j−1 ⊂ (C ⊗ D) k−1
pour c ⊗ d ∈ C i ⊗ D j ⊂ (C ⊗ D) k .
Nous allons montrer :
(1) Le résultat est vrai sur n’importe quel corps. Mais pas sur un anneau. Et en particulier
pas pour l’homologie entière. Voir la remarque 15.1.2 et [19].