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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Les géodésiques sont solutions d’une équation différentielle d’ordre 2. On
suppose que V est complète, c’est-à-dire que γ Y (t) est défini pour tout
t ∈ R. On définit alors
exp x : T x V −→ V
Y −→ γ Y (1).
On démontre que exp x est un difféomorphisme local et que
T 0 exp x : T x V −→ T x V
n’est autre que l’identité. Voir [29, § II C].
Comme V est munie d’une métrique riemannienne, on peut considérer,
pour tout R, le sous-espace
{(x, Y ) ∈ T V | |Y < R} ⊂ T V.
On qualifie ce type d’espace de « fibré en disques » : la fibre en x ∈ V est
le disque de rayon R de l’espace euclidien T x V .
Lorsque la variété V est compacte, il existe un réel positif r tel que
l’exponentielle définisse un difféomorphisme
(x, Y ) −→ (x, exp x Y )
du fibré en disques de rayon r
{(x, Y ) ∈ T V | |Y < r}
sur son image dans V × V . Un tel r est appelé rayon d’injectivité.
À une métrique riemannienne et à sa connexion de Levi-Civita est associée une notion de « transport parallèle ». Étant donné un vecteur X tangent
en x à V , on définit son transport parallèle le long d’une courbe t → γ(t)
d’origine x = γ(0) ainsi : X(t) ∈ T γ(t) V est l’unique section « parallèle »,
c’est-à-dire à dérivée covariante nulle, de γ
T V , satisfaisant à la condition
initiale X(0) = X.