14.5. MÉTRIQUES RIEMANNIENNES, EXPONENTIELLE
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Les solutions sont donc de la forme (y, Y ) où y est constante et Y satisfait à
dY
dt
= y
∂X t
∂t
+ (dX t ) x(t) Y.
Ce qui, en particulier, pour y = 0, est
dY
dt
= (dX t ) x(t) Y,
où nous retrouvons la forme ci-dessus. Les résultats s’appliquent donc, en
particulier le lemme 14.4.4, qui donne
(y(t), Y (t)) = T x(0)
ϕ
t (y(0), Y (0)) = (y(0), T x(t) ϕ
t (Y (0)).
Pour y(0) = 0, nous voyons que Y est solution de
dY
dt
= (dX t ) x(t) Y si et seulement si Y (t) = T x(t) ϕ
t (Y (0)).
14.5. Métriques riemanniennes, exponentielle
Une métrique riemannienne sur une variété est une section du fibré des
formes bilinéaires sur l’espace tangent à cette variété qui soit, en chaque
point, un produit scalaire sur l’espace tangent en ce point.
Par exemple, si V est une sous-variété de R
n , la métrique euclidienne
de R
n induit un produit scalaire sur les espaces vectoriels T x V et une métrique riemannienne sur V .
À l’aide d’une partition de l’unité, on peut munir toute variété qui en
possède une, en particulier toute variété compacte, d’une métrique riemannienne.
Une métrique riemannienne g définit une dérivation des champs de vecteurs par un champ de vecteurs, la dérivation covariante dite connexion de
Levi-Civita, unique (X, Y ) → D X Y à satisfaire à
D fX Y = fD X Y et D X (fY ) = (x · f )Y + fD X Y
D X Y − D Y X = [X, Y ]
x · g(Y, Z) = g(D X Y, Z) + g(Y, D X Z).
Voir [29, § II B].
Sur une variété riemannienne, on a ainsi une notion de géodésique. Une
géodésique est une solution t → γ(t) de l’équation différentielle
D ˙
γ γ = 0.
Étant donnés un point x ∈ V et un vecteur Y ∈ T x V , il existe une unique
géodésique passant par x avec vecteur tangent Y en x,
γ Y (t) avec γ Y (0) = x et ˙
γ Y (0) = Y.