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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Encore plus localement, supposons que V soit un ouvert de R
m , de sorte
que le champ de vecteurs X peut être considéré comme une application
V −→ R
m
x −→ X(x).
Utilisons comme base (e 1 (t), . . . , e m (t)) la base canonique (∂/∂x 1 , . . . , ∂/∂x m )
de C
m restreinte à la trajectoire. Ainsi
X,
∂
∂x i
= −
∂X
∂x i
de sorte que A(t) = −(dX) x(t) .
L’équation aux variations est la linéarisée ˙
y = (dX) x(t) y de l’équation différentielle originelle. On retrouve l’équation linéarisée « à la Poincaré » évoquée ci-dessus.
14.4.d. Le cas d’un champ de vecteurs dépendant du temps. Dans
ce texte, nous aurons à considérer des champs de vecteurs « dépendant du
temps », c’est-à-dire des systèmes différentiels
˙
x = X t (x(t))
où (t, x) → X t (x) est un champ de vecteurs qui dépend du paramètre supplémentaire t, le temps. La situation semble un peu différente de celle considérée jusqu’ici, mais s’y ramène en considérant le champ de vecteurs sur
R × V
X(u, x) =
d
du
+ X u (x) ∈ T (u,x) (R × V ).
Les trajectoires de
X sont les solutions
x(t) = (u(t), x(t)) ∈ R × V de
˙
u(t) = 1, ˙
x(t) = X u(t) (x(t)),
parmi lesquelles, les t → (t, x(t)) où x est solution de ˙
x = X t (x), notre
équation originelle. Le flot de
X est
ϕ
t (u, x) = (u + t, ϕ
t (x)),
où ϕ
t désigne le flot de X t , solution de
ϕ
0 = Id et
d
dt
ϕ
t = X t ◦ ϕ
t .
La linéarisation de l’équation différentielle le long d’une telle solution s’applique à des sections de
x
T (R × V ), c’est-à-dire à des vecteurs
t −→ (y(t), Y (t))
vérifiant
d
dt
y
Y
=
0
0
∂X t /∂t (dX t )) x(t)
y
Y
.