14.4. CHAMPS DE VECTEURS COMME ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 501
Vérifions que le résultat ne dépend pas du choix du prolongement
Y de Y
en constatant que, si Z est un champ identiquement nul en restriction à la
solution x, alors L X Z est nul en restriction à x (X ne dérive que dans la
direction de x). C’est ce qu’affirme le lemme 14.4.3 ci-dessous.
La « linéarité » par rapport aux fonctions est conséquence immédiate de
l’identité
L X (fY ) = (X · f )Y + f L X Y.
Lemme 14.4.3. Si Z est un champ de vecteurs sur V défini au voisinage de x
et identiquement nul sur x, alors L X Z est nul en tout point de x.
Démonstration. La définition de L X Z utilise le flot ϕ
t de X :
L X Z =
d
dt
(ϕ
−t ) Z
| t=0 .
En tout point de x, le vecteur Z(x(t)) est nul, donc aussi (ϕ
t ) Z(x), identiquement. Donc L X Z est nul en tout point de la trajectoire x.
On appelle équation linéarisée l’équation linéaire DY = 0. On remarquera qu’évidemment, X lui-même est une solution de l’équation aux variations. On a :
Lemme 14.4.4. Les solutions Y de l’équation linéarisée le long de x sont les
champs vecteurs Y (t) définis le long de x et tels que
Y (t) = (T x(0) ϕ
t )(Y (0)).
En effet, si Y (t) est défini par cette formule,
Y (0) = (T x(0) ϕ
t )
−1 Y (t) = (T x(t) ϕ
−t )Y (t)
ne dépend pas de t, de sorte que la formule définit bien une solution de
l’équation linéaire ; elle vaut Y (0) pour t = 0 et est seule à le faire.
14.4.c.1. En coordonnées. Pour pouvoir calculer en coordonnées, écrivons
cette équation sous forme matricielle. Si (e 1 (t), . . . , e m (t)) est une base de
sections locales du fibré T V le long de x, un champ de vecteurs Y le long
de x s’écrit Y (t) =
y i (t)e i (t) et
DY =
m
i=1
( ˙
y i e i + y i De i )
=
m
i=1
˙
y i e i + y i
m
j=1
a i,j e j
=
m
i=1
˙
y i +
m
k=1
a k,i y k
e i
ce qui donne, en écrivant y pour le vecteur colonne des y i et en appelant
A(t) la matrice des A(t) i,j = a j,i (t) :
˙
y + A(t)y = 0.