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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
14.4.b. Dérivée de Lie, formule des Cartan. La dérivée de Lie L X
prolonge la dérivation des fonctions (0-formes). Elle est définie par
L X α =
d
dt
(ϕ
t )
α
t=0
(et transforme donc une p-forme en une autre p-forme).
La formule des Cartan relie dérivée de Lie et différentielle extérieure.
Elle fait aussi intervenir le produit intérieur d’une forme par un champ de
vecteurs
(i X α) x (Y 1 , . . . , Y p ) = α x (X, Y 1 , . . . , Y p )
(une opération qui transforme une p-forme en une p − 1-forme). Elle affirme
que
L X = di X + i X d.
Voir toujours [37, Chap. V].
14.4.c. Linéarisation le long d’une solution. Considérons un champ
de vecteurs X sur une variété V , c’est-à-dire l’équation différentielle
˙
x = X(x)
(nous utilisons la notation ˙
x = dx/dt).
Traditionnellement, on pense à l’équation linéarisée comme à celle décrivant les solutions « infinitésimalement proches » d’une solution donnée. Si
x(t) et y(t) sont des solutions proches, écrivons, dans une carte
y(t) = x(t) + Y (t),
obtenant, à l’ordre 1,
dY
dt
=
dy
dt
−
dx
dt
= X(y(t)) − X(x(t)) = (dX) x(t) (Y (t)).
Cette équation différentielle linéaire en Y est l’équation linéarisée.
Décrivons-la de façon plus intrinsèque.
Considérons une solution x(t) de notre équation différentielle et un champ
de vecteurs tangents à V le long de x. Par exemple, X = d/dt est une telle
solution.
Lemme 14.4.2. La dérivée de Lie L X définit un opérateur D sur les sections
locales de x
T V , qui vérifie, pour toute fonction f définie le long de x,
D(fY ) = ˙
fY + fDY.
Démonstration. Définissons DY en
– prolongeant Y en
Y sur un voisinage de x (ou d’un point de x, tout
est local)
– calculant L X
Y (= [
Y , X])
– restreignant ce champ de vecteurs à x.