14.4. CHAMPS DE VECTEURS COMME ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 499
– ∀ t ∈ U , G t ∈ F,
– G est transverse à P sur K × U .
Cette définition s’adapte à la plupart des contraintes, qui en général ne
définissent pas des ouverts, elle sert par exemple à montrer les théorèmes
d’immersion et de plongement de Whitney. Un autre avantage est que la
démonstration du théorème de transversalité donne, sans changement, le
résultat de « transversalité sous contrainte » :
Théorème 14.3.13. Si F ⊂ C
∞ (M, N ) est localement transversale sur la sousvariété P ⊂ N , alors, pour tout compact K ⊂ M , l’ensemble des éléments
de F qui sont transverses à P le long de K est un ouvert dense de F.
14.4. Champs de vecteurs comme équations différentielles
14.4.a. Flots. Un champ de vecteurs peut être considéré comme une équation différentielle
c
(t) = X c(t)
dont on note ϕ
t
X la solution passant par x en t = 0. Elle n’est définie, en
principe que pour t proche de 0. Mais dans ce cas, on a
ϕ
t
X (ϕ
t
X (x)) = ϕ
t+t
X (x)
d’où l’on déduit sans mal que ϕ
t
X est un difféomorphisme, l’identité pour
t = 0.
Un résultat très important, et que nous utiliserons en permanence, est le
fait que, sur une variété compacte, le flot est défini pour tout t.
Théorème 14.4.1. Le flot d’un champ de vecteurs sur une variété compacte V
est défini sur R × V .
Il en est bien entendu de même pour un champ de vecteurs à support
compact sur une variété quelconque. Voir par exemple [47, p. 10] pour une
démonstration.
Voisinage collier du bord. Le bord ∂V d’une variété V possède un voisinage
« collier
(4) », c’est-à-dire un voisinage de la forme ∂V × [0, ε[, que l’on peut
obtenir en intégrant un champ de vecteurs : on choisit un champ de vecteurs
défini au voisinage du bord et qui n’est pas tangent au bord (ce qu’il est
facile de faire en utilisant une partition de l’unité) et on l’intègre.
(4) Nous en avons fait usage au § 4.7.
– ∀ t ∈ U , G t ∈ F,
– G est transverse à P sur K × U .
Cette définition s’adapte à la plupart des contraintes, qui en général ne
définissent pas des ouverts, elle sert par exemple à montrer les théorèmes
d’immersion et de plongement de Whitney. Un autre avantage est que la
démonstration du théorème de transversalité donne, sans changement, le
résultat de « transversalité sous contrainte » :
Théorème 14.3.13. Si F ⊂ C
∞ (M, N ) est localement transversale sur la sousvariété P ⊂ N , alors, pour tout compact K ⊂ M , l’ensemble des éléments
de F qui sont transverses à P le long de K est un ouvert dense de F.
14.4. Champs de vecteurs comme équations différentielles
14.4.a. Flots. Un champ de vecteurs peut être considéré comme une équation différentielle
c
(t) = X c(t)
dont on note ϕ
t
X la solution passant par x en t = 0. Elle n’est définie, en
principe que pour t proche de 0. Mais dans ce cas, on a
ϕ
t
X (ϕ
t
X (x)) = ϕ
t+t
X (x)
d’où l’on déduit sans mal que ϕ
t
X est un difféomorphisme, l’identité pour
t = 0.
Un résultat très important, et que nous utiliserons en permanence, est le
fait que, sur une variété compacte, le flot est défini pour tout t.
Théorème 14.4.1. Le flot d’un champ de vecteurs sur une variété compacte V
est défini sur R × V .
Il en est bien entendu de même pour un champ de vecteurs à support
compact sur une variété quelconque. Voir par exemple [47, p. 10] pour une
démonstration.
Voisinage collier du bord. Le bord ∂V d’une variété V possède un voisinage
« collier
(4) », c’est-à-dire un voisinage de la forme ∂V × [0, ε[, que l’on peut
obtenir en intégrant un champ de vecteurs : on choisit un champ de vecteurs
défini au voisinage du bord et qui n’est pas tangent au bord (ce qu’il est
facile de faire en utilisant une partition de l’unité) et on l’intègre.
(4) Nous en avons fait usage au § 4.7.