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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
dans M tel que f (U ) ⊂ V et soit K un voisinage compact de a contenu
dans U . Posons enfin
U =
g ∈ C
∞ (M, N ) | g(U ) ⊂ V
et montrons que ce K et cet U conviennent.
Soit α une fonction en cloche à support dans U qui vaut identiquement 1
sur K. Définissons une application G : M × ({0} × R
q ) → N par
G(x, v) =
g(x)
s ix ∈ U
g(x) + α(v)v si x ∈ U.
Évidemment, G est transverse à R
p
× {0}, ce qui donne la densité voulue
par le théorème 14.3.7.
Le fait que les applications transverses à P le long de K forment un
ouvert est conséquence du fait que les matrices de rang maximum forment
un ouvert de l’espace des matrices.
Démonstration du théorème 14.3.11. Soit f ∈ C
∞ (M, N ). Pour tout a ∈ K,
soient K a et U a un compact et un ouvert comme ceux dont le théorème
14.3.10 affirme l’existence... en affirmant également que
U
a = {g ∈ U a | f P le long de K a }
est un ouvert dense de U a . Comme K est compact, on peut le recouvrir par
un nombre fini N des K ai et on pose
U
=
N
i=1
U
a i
.
C’est un ouvert dense (comme intersection finie d’ouverts denses). Si g ∈ U
,
alors f est transverse à P le long de la réunion des K ai donc de K.
Il arrive que l’on ait (et il arrivera que nous ayons) besoin d’une propriété
de transversalité un peu différente : on ne veut pas considérer toutes les
fonctions de M dans N mais seulement celles ayant une propriété spécifique
au problème considéré et qui ne soit pas une propriété ouverte, satisfaisant
une contrainte.
Suivant [39], disons qu’une partie F ⊂ C
∞ (M, N ) est localement transversale sur P si, pour toute fonction f ∈ F, pour tout a ∈ M , il existe un
voisinage K de a dans M et un voisinage V de f dans F tels que, pour tout
g ∈ V, il existe un voisinage U de 0 dans un espace R
q et une famille
G : M × U −→ N
telle que
– G 0 = g,