14.3. TRANSVERSALITÉ
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Dans le cas général de deux variétés M et N , on définit la topologie C
k
(où k est éventuellement infini) en en donnant une base de voisinages. Les
voisinages en question d’une fonction f sont indexés par les (K, V, ε) tels
que
– ε > 0,
– K est un compact contenu dans un ouvert de carte de M ,
– V est un ouvert de carte de N et l’on a
– f (K) ⊂ V .
On pose
U
k
K,V,ε (f ) =
g ∈ C
k (M, N ) | g(K) ⊂ V et d
r
K < ε pour |r| ≤ k
.
Cette topologie est métrisable puisque, comme toutes les variétés de ce
cours, M a été supposée séparable. On appellera d ∞ une distance définissant
la topologie C
∞ .
14.3.c. Théorèmes de transversalité.
Théorème 14.3.10 (transversalité locale). Soient M et N deux variétés et
soit P une sous-variété propre de N . Soit f : M → N une application
différentiable et soit a un point de M . Alors il existe un voisinage compact K
de a dans M et un voisinage ouvert U de f dans C
∞ (M, N ) tels que
{g ∈ U | g P en tout point de K}
est un ouvert dense dans U.
Théorème 14.3.11 (transversalité). Soit K un compact de M . L’ensemble des
applications de M dans N transverses à la sous-variété P de N le long de K
est un ouvert dense dans C
∞ (M, N ).
Corollaire 14.3.12. L’ensemble des applications f : M → N transverses à la
sous-variété P de N est dense dans C
∞ (M, N ) (et c’est un ouvert dense
si M est compacte).
Esquisse d’une démonstration du théorème 14.3.10. Si f (a) ∈ P , soit K un
voisinage compact de a tel que f (K) ∩ P = ∅ et soit U l’ouvert
U = {g ∈ C
∞ (M, N ) | g(K) ∩ P = ∅} .
Ils ont la propriété voulue grâce à la propreté de P .
Si f (a) ∈ P , considérons un ouvert de carte V pour la sous-variété P ⊂ N
au voisinage de f (a) : nous pouvons supposer que V = R
n et V ∩ P =
R
p
× {0} ⊂ R
p
× R
q = R
n , avec f (a) = 0. Soit U un voisinage de a