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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Une application directe du théorème de Sard est le premier résultat de
transversalité :
Théorème 14.3.7. Soient M , N et S trois variétés et soit P une sous-variété
de N . Supposons que
F : M × S −→ N
soit une application transverse à P . Alors, pour presque tout s ∈ S, F s :
M → N est transverse à P .
Ici on considère la variété S comme un espace de paramètres.
Démonstration. En application de la proposition précédente, F
−1 (P ) est
une sous-variété Q de M × S. La projection
π : Q ⊂ M × S −→ S
est une application différentiable dont le théorème de Sard affirme que
presque tout s ∈ S est une valeur régulière de π. Il est facile de vérifier
que les valeurs régulières de π sont exactement les s pour lesquels l’application F s est transverse à P .
Remarque 14.3.8. Plus l’espace de paramètres S est grand, plus une application M × S → N a de chances d’êtres transverse à la sous-variété P . C’est
ce qui explique la grande utilité de ce résultat.
14.3.b. Topologie C
k . Pour énoncer les théorèmes de transversalité, qui
disent que, suffisamment près d’une application donnée, il y a une application transverse à une sous-variété donnée, ou encore que l’on peut « perturber » (sous-entendu « légèrement ») une application pour la rendre transverse à une sous-variété, il est nécessaire de définir une notion de proximité,
c’est-à-dire une (en fait plusieurs) topologie sur l’espace des applications de
la variété M dans la variété N .
Commençons par le cas où les deux variétés sont des ouverts d’espaces
numériques. La topologie C
∞ (resp. C
k ) est celle de la convergence uniforme
sur les compacts de la fonction et de toutes ses dérivées (resp. d’ordre ≤ k).
Remarque 14.3.9. Cette topologie est métrisable : on utilise les pseudodistances
d
r
K (f, g) = sup
x∈K
f
(r) (x) − g
(r) (x)
et on fait parcourir à K une famille dénombrable de compacts recouvrant
l’espace de départ.
CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Une application directe du théorème de Sard est le premier résultat de
transversalité :
Théorème 14.3.7. Soient M , N et S trois variétés et soit P une sous-variété
de N . Supposons que
F : M × S −→ N
soit une application transverse à P . Alors, pour presque tout s ∈ S, F s :
M → N est transverse à P .
Ici on considère la variété S comme un espace de paramètres.
Démonstration. En application de la proposition précédente, F
−1 (P ) est
une sous-variété Q de M × S. La projection
π : Q ⊂ M × S −→ S
est une application différentiable dont le théorème de Sard affirme que
presque tout s ∈ S est une valeur régulière de π. Il est facile de vérifier
que les valeurs régulières de π sont exactement les s pour lesquels l’application F s est transverse à P .
Remarque 14.3.8. Plus l’espace de paramètres S est grand, plus une application M × S → N a de chances d’êtres transverse à la sous-variété P . C’est
ce qui explique la grande utilité de ce résultat.
14.3.b. Topologie C
k . Pour énoncer les théorèmes de transversalité, qui
disent que, suffisamment près d’une application donnée, il y a une application transverse à une sous-variété donnée, ou encore que l’on peut « perturber » (sous-entendu « légèrement ») une application pour la rendre transverse à une sous-variété, il est nécessaire de définir une notion de proximité,
c’est-à-dire une (en fait plusieurs) topologie sur l’espace des applications de
la variété M dans la variété N .
Commençons par le cas où les deux variétés sont des ouverts d’espaces
numériques. La topologie C
∞ (resp. C
k ) est celle de la convergence uniforme
sur les compacts de la fonction et de toutes ses dérivées (resp. d’ordre ≤ k).
Remarque 14.3.9. Cette topologie est métrisable : on utilise les pseudodistances
d
r
K (f, g) = sup
x∈K
f
(r) (x) − g
(r) (x)
et on fait parcourir à K une famille dénombrable de compacts recouvrant
l’espace de départ.