14.3. TRANSVERSALITÉ
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Figure 1
On dit qu’elles sont transverses, notation M N , si elles sont transverses
en tout point.
La figure 1 montre deux sous-variétés de R
2 qui ne sont pas transverses...
et le fait qu’après une minuscule déformation, elles le sont devenues.
Remarque 14.3.3. Cette propriété est tout à fait générale : la transversalité est
une notion générique, une petite déformation permet toujours de l’assurer.
C’est aussi une notion stable, une petite déformation de deux sous-variétés
transverses préserve cette transversalité. Pour démontrer la première assertion, on peut utiliser le théorème de Sard, M et N étant décrites comme
dans la démonstration ci-dessus par les submersions f et g, presque toutes
les valeurs sont régulières pour F , donc f
−1 (ε) et g
−1 (η) sont transverses
pour presque tous les (ε, η) proches de (0, 0).
Remarque 14.3.4. Pour deux sous-variétés dont la somme des dimensions est
strictement plus petite que celle de la variété ambiante (par exemple deux
courbes dans R
3 ), la transversalité signifie l’absence d’intersection.
Plus généralement, si f : M → N est une application différentiable et si
P ⊂ N est une sous-variété, on dit que f est transverse à P (en u) si
soit u ∈ f (M ) ∩ P,
soit u = f (x) ∈ f (M ) ∩ P et T x f (T x M ) + T u P = T u N.
On note de même f P .
Proposition 14.3.5. Si f est transverse à P (en tout point) et si f
−1 (P ) n’est
pas vide, f
−1 (P ) est une sous-variété de M .
Remarque 14.3.6. Si N ⊂ P est une sous-variété (co-orientable) orientable de
la variété orientable P et si f : M → P est transverse à N , alors f
−1 (N ) est
(co-orientable) orientable dans la variété orientable M . Le cas traité dans
l’exemple 14.1.h est celui où la sous-variété N est le point 0 et P = R.
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Figure 1
On dit qu’elles sont transverses, notation M N , si elles sont transverses
en tout point.
La figure 1 montre deux sous-variétés de R
2 qui ne sont pas transverses...
et le fait qu’après une minuscule déformation, elles le sont devenues.
Remarque 14.3.3. Cette propriété est tout à fait générale : la transversalité est
une notion générique, une petite déformation permet toujours de l’assurer.
C’est aussi une notion stable, une petite déformation de deux sous-variétés
transverses préserve cette transversalité. Pour démontrer la première assertion, on peut utiliser le théorème de Sard, M et N étant décrites comme
dans la démonstration ci-dessus par les submersions f et g, presque toutes
les valeurs sont régulières pour F , donc f
−1 (ε) et g
−1 (η) sont transverses
pour presque tous les (ε, η) proches de (0, 0).
Remarque 14.3.4. Pour deux sous-variétés dont la somme des dimensions est
strictement plus petite que celle de la variété ambiante (par exemple deux
courbes dans R
3 ), la transversalité signifie l’absence d’intersection.
Plus généralement, si f : M → N est une application différentiable et si
P ⊂ N est une sous-variété, on dit que f est transverse à P (en u) si
soit u ∈ f (M ) ∩ P,
soit u = f (x) ∈ f (M ) ∩ P et T x f (T x M ) + T u P = T u N.
On note de même f P .
Proposition 14.3.5. Si f est transverse à P (en tout point) et si f
−1 (P ) n’est
pas vide, f
−1 (P ) est une sous-variété de M .
Remarque 14.3.6. Si N ⊂ P est une sous-variété (co-orientable) orientable de
la variété orientable P et si f : M → P est transverse à N , alors f
−1 (N ) est
(co-orientable) orientable dans la variété orientable M . Le cas traité dans
l’exemple 14.1.h est celui où la sous-variété N est le point 0 et P = R.