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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
14.3.a. Première notion de transversalité. L’histoire commence par
(encore) une application du théorème des fonctions implicites :
Théorème 14.3.1. Soient M et N deux sous-variétés de la variété P . Soit u
un point de M ∩ N tel que
T u M + T u N = T u P.
Alors, au voisinage de u, M ∩ N est une sous-variété de P , sa codimension
est la somme des codimensions de M et de N et son espace tangent en u
est
T u (M ∩ N ) = T u M ∩ T u N.
Ici tout est supposé de classe C
∞ , mais la classe C
1 suffit.
Démonstration. L’assertion est locale au voisinage de u. Supposons donc que
P = R
p . Appelons m la codimension de M et n celle de N , de sorte que,
toujours au voisinage de u, nous pouvons aussi supposer que M = f
−1 (0),
N = g
−1 (0) pour des submersions f et g. La condition de position générale
sur les espaces tangents s’écrit alors
dim(Ker T u f + Ker T u g) = p.
Considérons donc l’application F = (f, g) : R
p
→ R
m
× R
n , qui vérifie
F
−1 (0) = M ∩ N et dont le noyau de la différentielle en u est
Ker T u F = Ker T u f ∩ Ker T u g,
un sous-espace dont la dimension est donc
dim Ker T u F = dim Ker T u f + dim Ker T u g − dim(Ker T u f + Ker T u g)
= p − m + p − n − p = p − (m + n).
De sorte que T u F est surjective et donc que F est une submersion au voisinage de u et donc M ∩N est une sous-variété. La démonstration donne aussi
son espace tangent, le noyau de T u F , c’est-à-dire l’intersection des espaces
tangents, et sa codimension, la somme des codimensions.
Exemple 14.3.2. L’exemple d’une surface M et d’un plan N dans P = R
3 est
déjà instructif. Les deux sous-variétés sont de codimension 1, donc l’hypothèse de « position générale » est simplement qu’elles ne sont pas tangentes.
Une sous-variété de R
n et son espace tangent (affine) ne sont jamais transverses.
On dit que les deux sous-variétés M et N de P sont transverses au point
u ∈ P si
soit u ∈ M ∩ N,
soit u ∈ M ∩ N et T u M + T u N = T u P.
CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
14.3.a. Première notion de transversalité. L’histoire commence par
(encore) une application du théorème des fonctions implicites :
Théorème 14.3.1. Soient M et N deux sous-variétés de la variété P . Soit u
un point de M ∩ N tel que
T u M + T u N = T u P.
Alors, au voisinage de u, M ∩ N est une sous-variété de P , sa codimension
est la somme des codimensions de M et de N et son espace tangent en u
est
T u (M ∩ N ) = T u M ∩ T u N.
Ici tout est supposé de classe C
∞ , mais la classe C
1 suffit.
Démonstration. L’assertion est locale au voisinage de u. Supposons donc que
P = R
p . Appelons m la codimension de M et n celle de N , de sorte que,
toujours au voisinage de u, nous pouvons aussi supposer que M = f
−1 (0),
N = g
−1 (0) pour des submersions f et g. La condition de position générale
sur les espaces tangents s’écrit alors
dim(Ker T u f + Ker T u g) = p.
Considérons donc l’application F = (f, g) : R
p
→ R
m
× R
n , qui vérifie
F
−1 (0) = M ∩ N et dont le noyau de la différentielle en u est
Ker T u F = Ker T u f ∩ Ker T u g,
un sous-espace dont la dimension est donc
dim Ker T u F = dim Ker T u f + dim Ker T u g − dim(Ker T u f + Ker T u g)
= p − m + p − n − p = p − (m + n).
De sorte que T u F est surjective et donc que F est une submersion au voisinage de u et donc M ∩N est une sous-variété. La démonstration donne aussi
son espace tangent, le noyau de T u F , c’est-à-dire l’intersection des espaces
tangents, et sa codimension, la somme des codimensions.
Exemple 14.3.2. L’exemple d’une surface M et d’un plan N dans P = R
3 est
déjà instructif. Les deux sous-variétés sont de codimension 1, donc l’hypothèse de « position générale » est simplement qu’elles ne sont pas tangentes.
Une sous-variété de R
n et son espace tangent (affine) ne sont jamais transverses.
On dit que les deux sous-variétés M et N de P sont transverses au point
u ∈ P si
soit u ∈ M ∩ N,
soit u ∈ M ∩ N et T u M + T u N = T u P.