14.3. TRANSVERSALITÉ
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14.2.b. Le théorème de Sard. Une valeur critique de l’application f est
un point de la variété but N qui est l’image d’un point critique. Les autres
points de N sont des valeurs régulières. Il faut remarquer en particulier
qu’une valeur régulière n’est pas nécessairement une valeur. Et qu’il peut y
avoir des points non critiques dont l’image est une valeur critique.
Le théorème de Sard affirme que, sous certaines hypothèses, presque
toutes les valeurs d’une application différentiable sont régulières (remarquons que la notion d’ensemble négligeable et donc, de « presque tout » est
bien définie sur une variété). On a précisément :
Théorème 14.2.1 (théorème de Sard). Soit f : M → N une application de
classe C
∞ . Alors, les valeurs critiques de f forment un ensemble de mesure
nulle dans N .
Remarque 14.2.2. Quand la dimension m de M est strictement inférieure à
celle, n, de N , alors f (M ) lui-même est de mesure nulle dans N (une application pas complètement triviale du fait que le sous-espace R
m est de
mesure nulle dans R
n ). Par exemple, dans ce cas, une application différentiable de M dans N n’est jamais surjective. Le théorème est donc intéressant
(et plus difficile à démontrer) surtout quand m ≥ n.
Voir par exemple [32, p. 34 sqq] pour une démonstration.
14.2.c. Niveaux réguliers d’une fonction, sous-niveaux. Si f : V → R
est une fonction et si α en est une valeur régulière, alors, en application du
théorème sur les submersions, nous l’avons dit, le niveau f
−1 (α) est une
sous-variété de codimension 1 de V . Le sous-niveau V
α = f
−1 (] − ∞, α])
est, lui, une variété à bord de bord f
−1 (α).
Soit f : (V, ∂V ) → W est une application C
∞ d’une variété à bord dans la
variété W , on suppose que le point w de W est une valeur régulière pour f
et pour f | ∂V . Alors f
−1 (w) est une sous-variété de V , à bord
∂f
−1 (w) = (f | ∂V )
−1 (w).
14.3. Transversalité
Cette notion, due à Thom au début des années 1950, est essentielle en
géométrie. Il s’agit de la position relative de deux sous-variétés.
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14.2.b. Le théorème de Sard. Une valeur critique de l’application f est
un point de la variété but N qui est l’image d’un point critique. Les autres
points de N sont des valeurs régulières. Il faut remarquer en particulier
qu’une valeur régulière n’est pas nécessairement une valeur. Et qu’il peut y
avoir des points non critiques dont l’image est une valeur critique.
Le théorème de Sard affirme que, sous certaines hypothèses, presque
toutes les valeurs d’une application différentiable sont régulières (remarquons que la notion d’ensemble négligeable et donc, de « presque tout » est
bien définie sur une variété). On a précisément :
Théorème 14.2.1 (théorème de Sard). Soit f : M → N une application de
classe C
∞ . Alors, les valeurs critiques de f forment un ensemble de mesure
nulle dans N .
Remarque 14.2.2. Quand la dimension m de M est strictement inférieure à
celle, n, de N , alors f (M ) lui-même est de mesure nulle dans N (une application pas complètement triviale du fait que le sous-espace R
m est de
mesure nulle dans R
n ). Par exemple, dans ce cas, une application différentiable de M dans N n’est jamais surjective. Le théorème est donc intéressant
(et plus difficile à démontrer) surtout quand m ≥ n.
Voir par exemple [32, p. 34 sqq] pour une démonstration.
14.2.c. Niveaux réguliers d’une fonction, sous-niveaux. Si f : V → R
est une fonction et si α en est une valeur régulière, alors, en application du
théorème sur les submersions, nous l’avons dit, le niveau f
−1 (α) est une
sous-variété de codimension 1 de V . Le sous-niveau V
α = f
−1 (] − ∞, α])
est, lui, une variété à bord de bord f
−1 (α).
Soit f : (V, ∂V ) → W est une application C
∞ d’une variété à bord dans la
variété W , on suppose que le point w de W est une valeur régulière pour f
et pour f | ∂V . Alors f
−1 (w) est une sous-variété de V , à bord
∂f
−1 (w) = (f | ∂V )
−1 (w).
14.3. Transversalité
Cette notion, due à Thom au début des années 1950, est essentielle en
géométrie. Il s’agit de la position relative de deux sous-variétés.