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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Elle vérifie d ◦ d = 0. On parle de formes fermées (dα = 0) et de formes
exactes (α = dβ). Les formes exactes sont fermées mais la réciproque est
fausse en général, ce qui est à l’origine de la cohomologie de de Rham.
Nous aurons surtout besoin de : 1-formes et 2-formes, différentielle extérieure, formes fermées, formes exactes, de la notion de forme-volume, et de
la formule de Stokes. Voir [37, Chap. V] et [66, Chap. VII].
14.1.h. Questions d’orientation. On dit qu’une variété est orientable si
elle possède un atlas d’orientation (dont tous les changements de cartes préservent l’orientation). Une variété qui possède une forme volume est orientable (la démonstration est directe). La réciproque est vraie, on construit
une forme volume grâce à une partition de l’unité (voir [37, Chap. V] si la
variété est compacte et plus généralement [29, p. 46]).
Le bord d’une variété orientée a une orientation naturelle.
Exemple. Si f : R
n
→ R est une submersion, alors la sous-variété f
−1 (0)
est orientable. Pour le montrer, on peut utiliser le gradient de la fonction,
un champ de vecteurs normal à la sous-variété.
14.2. Points critiques, valeurs critiques et théorème de Sard
Voir par exemple [32] pour ce paragraphe.
14.2.a. Points critiques. Un point x de la variété M est critique pour
l’application
f : M −→ N
à valeurs dans la variété N si l’application linéaire T x f n’est pas de rang
maximal.
– soit dim M ≤ dim N et f n’est pas immersive en x ;
– soit dim M ≥ dim N et f n’est pas submersive en x.
Appelons m et n respectivement et alphabétiquement les dimensions de M
et N . Dans le cas où m ≤ n, la condition est que dim Ker T x f > 0 ; dans le
cas m ≥ n, c’est rg T x f < n. On résume tout ça en disant que x est critique
si le corang de f en x est strictement positif, avec la définition ad hoc du
corang, c’est-à-dire inf(m, n) − rg T x f .
Exemple (exemple fondamental). Quand N = R, cas des fonctions numériques, n = 1 et un point x est critique si et seulement si T x f ≡ 0.
CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Elle vérifie d ◦ d = 0. On parle de formes fermées (dα = 0) et de formes
exactes (α = dβ). Les formes exactes sont fermées mais la réciproque est
fausse en général, ce qui est à l’origine de la cohomologie de de Rham.
Nous aurons surtout besoin de : 1-formes et 2-formes, différentielle extérieure, formes fermées, formes exactes, de la notion de forme-volume, et de
la formule de Stokes. Voir [37, Chap. V] et [66, Chap. VII].
14.1.h. Questions d’orientation. On dit qu’une variété est orientable si
elle possède un atlas d’orientation (dont tous les changements de cartes préservent l’orientation). Une variété qui possède une forme volume est orientable (la démonstration est directe). La réciproque est vraie, on construit
une forme volume grâce à une partition de l’unité (voir [37, Chap. V] si la
variété est compacte et plus généralement [29, p. 46]).
Le bord d’une variété orientée a une orientation naturelle.
Exemple. Si f : R
n
→ R est une submersion, alors la sous-variété f
−1 (0)
est orientable. Pour le montrer, on peut utiliser le gradient de la fonction,
un champ de vecteurs normal à la sous-variété.
14.2. Points critiques, valeurs critiques et théorème de Sard
Voir par exemple [32] pour ce paragraphe.
14.2.a. Points critiques. Un point x de la variété M est critique pour
l’application
f : M −→ N
à valeurs dans la variété N si l’application linéaire T x f n’est pas de rang
maximal.
– soit dim M ≤ dim N et f n’est pas immersive en x ;
– soit dim M ≥ dim N et f n’est pas submersive en x.
Appelons m et n respectivement et alphabétiquement les dimensions de M
et N . Dans le cas où m ≤ n, la condition est que dim Ker T x f > 0 ; dans le
cas m ≥ n, c’est rg T x f < n. On résume tout ça en disant que x est critique
si le corang de f en x est strictement positif, avec la définition ad hoc du
corang, c’est-à-dire inf(m, n) − rg T x f .
Exemple (exemple fondamental). Quand N = R, cas des fonctions numériques, n = 1 et un point x est critique si et seulement si T x f ≡ 0.