14.1. LES VARIÉTÉS ET LES SOUS-VARIÉTÉS
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14.1.f. Champs de vecteurs. On définit aussi le fibré tangent
(2) en mettant la topologie et la structure de variété ad hoc sur la réunion disjointe
des espaces tangents en les points de la variété.
Les champs de vecteurs en sont des sections
(3)
C
∞ , c’est une façon de
dire qu’un champ de vecteurs est la donnée, en chaque point, d’un vecteur
tangent et que celui-ci dépend de façon C
∞ du point considéré. En général,
on notera les champs de vecteurs par des grandes lettres latines, comme X,
et X x désignera la valeur du champ X au point x.
Si X est un champ de vecteurs et f une fonction, on note X ·f la fonction
dérivée de f le long de X, c’est-à-dire définie par
(X · f )(x) = X x · f = T x f (X x ).
Toutes les dérivations proviennent de champs de vecteurs.
Crochet. La composée de deux dérivations n’est pas une dérivation, toutefois,
f −→ X · (Y · f ) − Y · (X · f )
en est une, on note [X, Y ] le champ de vecteurs correspondant.
Un champ de vecteurs peut aussi être considéré comme une équation
différentielle sur la variété. Voir le § 14.4.
14.1.g. Formes différentielles. Une forme différentielle de degré p sur
une variété V (aussi dite p-forme) est une section du fibré Λ
p T
V , en termes
moins pédants la donnée, pour chaque x ∈ V , d’une forme extérieure de degré p sur l’espace tangent T x V , dépendant de façon C
∞ de x. En coordonnées
locales (x 1 , . . . , x n ) sur V , ceci s’écrit
α =
α i1,...,ip dx i1 ∧ · · · ∧ dx ip ,
écriture dans laquelle les α i1,...,ip sont des fonctions et dx 1 , . . . , dx n désigne
la base canonique de (R
n )
.
Une application f : V → W transforme les formes différentielles sur W
en formes différentielles sur V par
(f
α) x (X 1 , . . . , X p ) = α f (x) (T x f (X 1 ), . . . , T x f (X p )).
L’opération la plus importante sur les formes est la différentiation extérieure, elle transforme une forme de degré p en une forme de degré p + 1, en
coordonnées
(dα) =
dα i1,...,ip dx i1 ∧ · · · dx ip
(où dα i1,...,ip dx i1 est la différentielle de la fonction α i1,...,ip dx i1 ).
(2) Et de même, le fibré cotangent, en utilisant les duaux des espaces tangents.
(3) Une section d’un fibré π : E → V est une application s : V → E telle que π ◦ s = Id V .
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14.1.f. Champs de vecteurs. On définit aussi le fibré tangent
(2) en mettant la topologie et la structure de variété ad hoc sur la réunion disjointe
des espaces tangents en les points de la variété.
Les champs de vecteurs en sont des sections
(3)
C
∞ , c’est une façon de
dire qu’un champ de vecteurs est la donnée, en chaque point, d’un vecteur
tangent et que celui-ci dépend de façon C
∞ du point considéré. En général,
on notera les champs de vecteurs par des grandes lettres latines, comme X,
et X x désignera la valeur du champ X au point x.
Si X est un champ de vecteurs et f une fonction, on note X ·f la fonction
dérivée de f le long de X, c’est-à-dire définie par
(X · f )(x) = X x · f = T x f (X x ).
Toutes les dérivations proviennent de champs de vecteurs.
Crochet. La composée de deux dérivations n’est pas une dérivation, toutefois,
f −→ X · (Y · f ) − Y · (X · f )
en est une, on note [X, Y ] le champ de vecteurs correspondant.
Un champ de vecteurs peut aussi être considéré comme une équation
différentielle sur la variété. Voir le § 14.4.
14.1.g. Formes différentielles. Une forme différentielle de degré p sur
une variété V (aussi dite p-forme) est une section du fibré Λ
p T
V , en termes
moins pédants la donnée, pour chaque x ∈ V , d’une forme extérieure de degré p sur l’espace tangent T x V , dépendant de façon C
∞ de x. En coordonnées
locales (x 1 , . . . , x n ) sur V , ceci s’écrit
α =
α i1,...,ip dx i1 ∧ · · · ∧ dx ip ,
écriture dans laquelle les α i1,...,ip sont des fonctions et dx 1 , . . . , dx n désigne
la base canonique de (R
n )
.
Une application f : V → W transforme les formes différentielles sur W
en formes différentielles sur V par
(f
α) x (X 1 , . . . , X p ) = α f (x) (T x f (X 1 ), . . . , T x f (X p )).
L’opération la plus importante sur les formes est la différentiation extérieure, elle transforme une forme de degré p en une forme de degré p + 1, en
coordonnées
(dα) =
dα i1,...,ip dx i1 ∧ · · · dx ip
(où dα i1,...,ip dx i1 est la différentielle de la fonction α i1,...,ip dx i1 ).
(2) Et de même, le fibré cotangent, en utilisant les duaux des espaces tangents.
(3) Une section d’un fibré π : E → V est une application s : V → E telle que π ◦ s = Id V .