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CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Liouville, aucune variété analytique compacte n’est une sous-variété analytique de C
N .
14.1.d. Bords. Une variété à bord est un espace topologique V dont tout
point a un voisinage homéomorphe à un ouvert du demi-espace (x n ≤ 0)
de l’espace R
n . Les points qui n’ont pas de voisinage homéomorphe à un
ouvert de R
n sont les points du bord. Le bord, noté ∂V , est une sous-variété
de dimension n − 1. On démontre (voir le § 14.4) que le bord a un voisinage
de la forme ∂V × [0, ε[.
14.1.e. Vecteurs tangents, applications tangentes. Rappelons que
l’on peut définir un vecteur tangent en x à la variété V comme une classe
d’équivalence de courbes passant par x dessinées sur V ,
c : ] − ε, ε[ −→ V telle que c(0) = x,
sous la relation d’équivalence qui identifie c 1 et c 2 si, pour une carte ϕ
centrée en x,
(ϕ ◦ c 1 )
(0) = (ϕ ◦ c 2 )
(0).
L’ensemble des vecteurs tangents en x est un espace vectoriel, noté T x V .
Ceci permet de définir l’application tangente
T x f : T x V −→ T f (x) W
à une application f : V → W , tout simplement en associant, à la classe de
la courbe c, celle de la courbe f ◦ c.
Et de considérer un vecteur tangent comme une dérivation sur les fonctions, c’est-à-dire comme une application linéaire X définie sur l’ensemble
des fonctions C
∞ au voisinage de x et vérifiant
X(fg) = f (x)X(g) + g(x)X(f ).
En associant, pour tout x, au vecteur X ∈ T x V et à la fonction f : V → R,
le nombre X(f )(x) = T x f (X) ∈ R, on définit la fonction X(f ).
Remarque 14.1.3. On note souvent (df ) x au lieu de T x f , en particulier
quand f est une fonction numérique. Nous le ferons aussi.
Il est instructif de décrire l’espace tangent à une sous-variété via chacune
des caractérisations (on trouve notamment T x (f
−1 (0)) = Ker T x f pour f
submersive).
CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Liouville, aucune variété analytique compacte n’est une sous-variété analytique de C
N .
14.1.d. Bords. Une variété à bord est un espace topologique V dont tout
point a un voisinage homéomorphe à un ouvert du demi-espace (x n ≤ 0)
de l’espace R
n . Les points qui n’ont pas de voisinage homéomorphe à un
ouvert de R
n sont les points du bord. Le bord, noté ∂V , est une sous-variété
de dimension n − 1. On démontre (voir le § 14.4) que le bord a un voisinage
de la forme ∂V × [0, ε[.
14.1.e. Vecteurs tangents, applications tangentes. Rappelons que
l’on peut définir un vecteur tangent en x à la variété V comme une classe
d’équivalence de courbes passant par x dessinées sur V ,
c : ] − ε, ε[ −→ V telle que c(0) = x,
sous la relation d’équivalence qui identifie c 1 et c 2 si, pour une carte ϕ
centrée en x,
(ϕ ◦ c 1 )
(0) = (ϕ ◦ c 2 )
(0).
L’ensemble des vecteurs tangents en x est un espace vectoriel, noté T x V .
Ceci permet de définir l’application tangente
T x f : T x V −→ T f (x) W
à une application f : V → W , tout simplement en associant, à la classe de
la courbe c, celle de la courbe f ◦ c.
Et de considérer un vecteur tangent comme une dérivation sur les fonctions, c’est-à-dire comme une application linéaire X définie sur l’ensemble
des fonctions C
∞ au voisinage de x et vérifiant
X(fg) = f (x)X(g) + g(x)X(f ).
En associant, pour tout x, au vecteur X ∈ T x V et à la fonction f : V → R,
le nombre X(f )(x) = T x f (X) ∈ R, on définit la fonction X(f ).
Remarque 14.1.3. On note souvent (df ) x au lieu de T x f , en particulier
quand f est une fonction numérique. Nous le ferons aussi.
Il est instructif de décrire l’espace tangent à une sous-variété via chacune
des caractérisations (on trouve notamment T x (f
−1 (0)) = Ker T x f pour f
submersive).