14.1. LES VARIÉTÉS ET LES SOUS-VARIÉTÉS
489
Si les sous-variétés sont des variétés, la réciproque est vraie : les variétés
peuvent être considérées comme des sous-variétés, comme nous le rappelons
maintenant.
14.1.c. Partitions de l’unité, théorème de plongement.
Partitions de l’unité. Il s’agit d’un outil essentiel, qui autorise à démontrer
bien des résultats en se concentrant sur leurs aspects locaux. Soit V une
variété compacte
(1) de dimension n et soit (U i , ϕ i ) 1≤i≤N un atlas fini de V .
On montre qu’il existe un recouvrement de V par des ouverts Ω i tels que
Ω i ⊂ U i et des fonctions h i à support dans U i et valant 1 sur Ω i .
On en déduit, en posant
p i =
h i
h i
,
qu’il existe, pour tout recouvrement de V par un nombre fini d’ouverts
Ω 1 , . . . , Ω N , une famille (p i ) 1≤i≤N de fonctions
p i : V −→ [0, +∞[
telles que
Supp(p i ) ⊂ Ω i et
N
i=1
p i ≡ 1.
Plongement d’une variété compacte dans un espace numérique. Soit V une
variété compacte de dimension n et soit (U i , ϕ i ) 1≤i≤N un atlas fini de V . On
utilise les fonctions h i ci-dessus pour construire une application F , définie
par
F = (h 1 ϕ 1 , . . . , h N ϕ N , h 1 , . . . , h N ) : V −→ (R
n )
N
× R
N = R
(n+1)N .
On vérifie que F est une immersion injective (et donc un plongement).
C’est le théorème suivant.
Théorème 14.1.2 (théorème de plongement de Whitney). Soit V une variété
compacte. Alors il existe un plongement de V comme sous-variété dans un
espace euclidien R
N .
Par un argument de position générale semblable à ceux semblable à ceux
que nous rappellerons plus bas, on peut démontrer que la dimension de
l’espace euclidien peut être descendue jusqu’à 2 dim V + 1.
Remarque. Ce résultat appartient à la géométrie différentielle réelle ; il n’a
pas d’analogue en géométrie analytique complexe : à cause du théorème de
(1) paracompacte suffit...
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Si les sous-variétés sont des variétés, la réciproque est vraie : les variétés
peuvent être considérées comme des sous-variétés, comme nous le rappelons
maintenant.
14.1.c. Partitions de l’unité, théorème de plongement.
Partitions de l’unité. Il s’agit d’un outil essentiel, qui autorise à démontrer
bien des résultats en se concentrant sur leurs aspects locaux. Soit V une
variété compacte
(1) de dimension n et soit (U i , ϕ i ) 1≤i≤N un atlas fini de V .
On montre qu’il existe un recouvrement de V par des ouverts Ω i tels que
Ω i ⊂ U i et des fonctions h i à support dans U i et valant 1 sur Ω i .
On en déduit, en posant
p i =
h i
h i
,
qu’il existe, pour tout recouvrement de V par un nombre fini d’ouverts
Ω 1 , . . . , Ω N , une famille (p i ) 1≤i≤N de fonctions
p i : V −→ [0, +∞[
telles que
Supp(p i ) ⊂ Ω i et
N
i=1
p i ≡ 1.
Plongement d’une variété compacte dans un espace numérique. Soit V une
variété compacte de dimension n et soit (U i , ϕ i ) 1≤i≤N un atlas fini de V . On
utilise les fonctions h i ci-dessus pour construire une application F , définie
par
F = (h 1 ϕ 1 , . . . , h N ϕ N , h 1 , . . . , h N ) : V −→ (R
n )
N
× R
N = R
(n+1)N .
On vérifie que F est une immersion injective (et donc un plongement).
C’est le théorème suivant.
Théorème 14.1.2 (théorème de plongement de Whitney). Soit V une variété
compacte. Alors il existe un plongement de V comme sous-variété dans un
espace euclidien R
N .
Par un argument de position générale semblable à ceux semblable à ceux
que nous rappellerons plus bas, on peut démontrer que la dimension de
l’espace euclidien peut être descendue jusqu’à 2 dim V + 1.
Remarque. Ce résultat appartient à la géométrie différentielle réelle ; il n’a
pas d’analogue en géométrie analytique complexe : à cause du théorème de
(1) paracompacte suffit...