488
CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Avec cette définition, une variété de dimension 0 est un ensemble dénombrable discret.
On définit, à travers les cartes et la notion ad hoc sur les ouverts de R
n ,
la notion d’application C
∞ d’une variété dans une autre : si U et V sont
contenus dans des ouverts de cartes respectivement de la variété M et de la
variété N , la fonction f : U → V est de classe C
k (pour 0 ≤ k ≤ ∞) si la
composition
ϕ(U )
ϕ
−1
− −−−→ U
f
− − → V
ψ
−−→ ψ(V )
est ce classe C
k . Être de classe C
k est une propriété locale, bien définie par
cette condition.
14.1.b. Caractérisation des sous-variétés. Parmi les variétés, il y a les
sous-variétés de R
n . Une sous-variété de R
n est un sous-espace V qui ressemble beaucoup, localement, à un sous-espace vectoriel, au sens où chacun
de ses points a, dans R
n , un voisinage ouvert U difféomorphe à un voisinage
de 0 dans R
n par un difféomorphisme ϕ tel que ϕ(U ∩ V ) = ϕ(U ) ∩ R
d .
L’entier d est la dimension de la sous-variété V .
Théorème 14.1.1. Soit V ⊂ R
n . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) V est une sous-variété de dimension d de R
n ;
(2) tout point x de V possède un voisinage ouvert U dans R
n tel qu’il
existe une submersion g : U → R
n−d avec U ∩ V = g
−1 (0) ;
(3) tout point x de V possède un voisinage ouvert U dans R
n tel qu’il
existe un voisinage Ω de 0 dans R
d et une immersion h : Ω → R
n qui est
un homéomorphisme de Ω sur U ∩ V .
Autrement dit, une sous-variété peut être décrite localement par des
équations (le nombre d’équations est la codimension), ou par un paramétrage (le nombre de paramètres est la dimension). Toutes ces propriétés
étant des applications du théorème des fonctions implicites et/ou d’inversion locale.
Un excellent et indispensable exercice est, étant donnée une partie de R
n
(ou d’une autre variété) soupçonnée d’être une sous-variété, de décider lequel
de ces critères est le mieux adapté à prouver sa culpabilité.
La définition d’une sous-variété d’une variété est analogue.
Bien entendu (c’est contenu dans la définition), les sous-variétés sont
des variétés. Par exemple, un « niveau » d’une fonction numérique f (image
inverse d’un nombre réel α) relève de la propriété (2). C’est une sous-variété
quand f est une submersion le long de f
−1 (α).
CHAPITRE 14. UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Avec cette définition, une variété de dimension 0 est un ensemble dénombrable discret.
On définit, à travers les cartes et la notion ad hoc sur les ouverts de R
n ,
la notion d’application C
∞ d’une variété dans une autre : si U et V sont
contenus dans des ouverts de cartes respectivement de la variété M et de la
variété N , la fonction f : U → V est de classe C
k (pour 0 ≤ k ≤ ∞) si la
composition
ϕ(U )
ϕ
−1
− −−−→ U
f
− − → V
ψ
−−→ ψ(V )
est ce classe C
k . Être de classe C
k est une propriété locale, bien définie par
cette condition.
14.1.b. Caractérisation des sous-variétés. Parmi les variétés, il y a les
sous-variétés de R
n . Une sous-variété de R
n est un sous-espace V qui ressemble beaucoup, localement, à un sous-espace vectoriel, au sens où chacun
de ses points a, dans R
n , un voisinage ouvert U difféomorphe à un voisinage
de 0 dans R
n par un difféomorphisme ϕ tel que ϕ(U ∩ V ) = ϕ(U ) ∩ R
d .
L’entier d est la dimension de la sous-variété V .
Théorème 14.1.1. Soit V ⊂ R
n . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) V est une sous-variété de dimension d de R
n ;
(2) tout point x de V possède un voisinage ouvert U dans R
n tel qu’il
existe une submersion g : U → R
n−d avec U ∩ V = g
−1 (0) ;
(3) tout point x de V possède un voisinage ouvert U dans R
n tel qu’il
existe un voisinage Ω de 0 dans R
d et une immersion h : Ω → R
n qui est
un homéomorphisme de Ω sur U ∩ V .
Autrement dit, une sous-variété peut être décrite localement par des
équations (le nombre d’équations est la codimension), ou par un paramétrage (le nombre de paramètres est la dimension). Toutes ces propriétés
étant des applications du théorème des fonctions implicites et/ou d’inversion locale.
Un excellent et indispensable exercice est, étant donnée une partie de R
n
(ou d’une autre variété) soupçonnée d’être une sous-variété, de décider lequel
de ces critères est le mieux adapté à prouver sa culpabilité.
La définition d’une sous-variété d’une variété est analogue.
Bien entendu (c’est contenu dans la définition), les sous-variétés sont
des variétés. Par exemple, un « niveau » d’une fonction numérique f (image
inverse d’un nombre réel α) relève de la propriété (2). C’est une sous-variété
quand f est une submersion le long de f
−1 (α).