CHAPITRE 14
UN PEU DE GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE
Dans ce chapitre, nous énumérons, plus ou moins rapidement selon les
cas, les différents objets et outils de géométrie utilisés dans ces notes.
14.1. Les variétés et les sous-variétés
Voir [37], [40], [39], [66] et [56] pour les notions de base présentées dans
ce paragraphe.
14.1.a. Variétés. Une variété est un espace qui ressemble beaucoup, localement, à R
n . Soyons plus précis. Une variété topologique de dimension n
est un espace topologique séparé dont tout point est contenu dans un ouvert
homéomorphe à un ouvert de R
n . Un couple, (U, ϕ), où U est un tel ouvert
et ϕ un homéomorphisme, est une carte. Ici une variété est en tout cas
paracompacte (et en particulier séparable).
On demande aussi que V soit une réunion dénombrable de compacts
et une réunion dénombrable d’ouverts de cartes (mais dans ce cours, nous
utiliserons surtout des variétés compactes, pour lesquelles ces propriétés sont
automatiquement vérifiées).
L’ensemble des cartes d’une variété est un atlas. Deux cartes (U, ϕ) et
(U
, ϕ
) sont dites compatibles si la composition
ϕ(U ∩ U
)
ϕ
−1
− −−−→ U ∩ U
ϕ
− −− → ϕ
(U ∩ U
),
une application d’un ouvert de R
n dans un autre, est un difféomorphisme
(de classe C
∞ ). Si la variété V possède un atlas dont toutes les cartes sont
compatibles entre elles, on dit que c’est une variété différentielle (ou lisse,
ou de classe C
∞ ).
Exemples. La sphère S
n , les espaces projectifs P
n (R) et P
n (C), le tore
R
n /Z
n sont des variétés (lisses).