EXERCICES SUR LE CHAPITRE 8
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On suppose désormais que π 2 (W ) = 0. Montrer qu’alors μ L (u) ne dépend
que de la restriction de u au bord et donc qu’elle définit un homomorphisme
de groupes π 1 (L) → Z.
Exercice 43. Soit P un polynôme à coefficients complexes et soit α ∈ C une
racine de P de multiplicité m. Commençons par rappeler une démonstration
du théorème de Rouché.
(1) Soit γ le cercle γ(t) = α + εe
2iπt (t ∈ [0, 1]). Montrer que, si ε est
assez petit pour qu’il n’y ait pas d’autre racine de P que α dans le disque
fermé B ε de bord γ, on a
m =
1
2iπ
γ
P
(z)
P (z)
dz.
(2) Posons δ = sup z∈Im γ |P (z)|. Soit Q un polynôme tel que
sup
z∈Bε
|P (z) − Q(z)| < δ.
Vérifier que Q n’a pas de racine sur le cercle γ. Montrer que l’image de γ
par h est contenue dans le disque ouvert de centre 1 et de rayon 1. En
déduire que
γ
h
(z)
h(z)
dz = 0.
(3) Montrer que Q a exactement m racines (comptées avec multiplicités)
dans le disque B ε . C’est le théorème de Rouché.
En déduire une démonstration de la proposition 7.3.6.
Exercices sur le chapitre 8
Exercice 44. Montrer que le noyau de l’opérateur Γ considéré dans la proposition 8.1.4 n’est pas de dimension finie.
Exercice 45 (une autre démonstration du théorème 8.6.11). Soit Σ : R →
End(R
2n ) une application continue telle que
Σ(s) = π Id pour s < −s 0 et Σ(s) = 3π Id pour s > s 0 .
Montrer que l’opérateur F défini par
F (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ σ · Y
est un opérateur de Fredholm de W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) dans L
p (R × S
1 ; R
2n ).
Montrer que
dim Ker F = 2n# { ∈ Z
| 1 < 2 < 3} = 2n,