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EXERCICES DE LA DEUXIÈME PARTIE
associe donc à tout lacet dans L un entier, sa classe de Maslov. Quelles sont
les classes de Maslov des immersions (lagrangiennes) de S
1 dans R
2 définies
par les dessins de la figure 3 ? Montrer que la classe de Maslov d’un cercle
plongé est ±2 (utiliser le théorème des « tangentes tournantes », voir [7]).
Figure 3
Exercice 42 (indice de Maslov relatif). Soit W une variété munie d’une forme
symplectique ω et soit
j : L L−→ W
un plongement lagrangien (voir l’exercice 41 page 481). À tout disque
u : D
2
−→ W
à bord dans L, c’est-à-dire tel que u(∂D
2 ) ⊂ j(L), on peut associer un entier
μ L (u) comme suit : on trivialise u
T W par une trivialisation symplectique
Φ : u
T W −→ D
2
× R
2n ,
la classe du lacet
S
1
−→ Λ n
z −→ Φ(T u(z) L)
dans π 1 (Λ n ) ≡ Z est l’entier μ L (u) en question. Vérifier que cet entier ne
dépend pas du choix de la trivialisation Φ.
Soit v un autre disque dans W à bord dans L. On suppose que u et v
sont homotopes relativement à L, c’est-à-dire qu’il existe une homotopie
h : D
2
× [0, 1] −→ W
telle que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
h(·, 0) = u
h(·, 1) = v
h(z, t) ∈ L si z ∈ S
1 .
Montrer qu’alors μ L (u) = μ L (v). Ainsi, μ L définit une application du groupe
π 2 (W, L) des classes d’homotopie relatives dans Z. Montrer que cette application est un homomorphisme de groupes.