EXERCICES SUR LE CHAPITRE 7
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et la matrice symétrique associée
S =
⎛
⎜
⎜
⎝
0 0 0 −1
0 0 1 0
0 1 1 0
−1 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠ =
0 −α
−α Id
avec α =
0 1
−1 0
.
Montrer que
A = exp(tJS) =
exp(tα) t exp(tα)
0
exp(tα)
=
⎛
⎜
⎜
⎝
cos t − sin t
sin t cos t
t cos t −t sin t
t sin t tcos t
0
cos t − sin t
sin t cos t
⎞
⎟
⎟
⎠ ,
que c’est une matrice symplectique de valeurs propres (doubles) e
±it , qu’elle
n’est pas diagonalisable (pour t = 0), et qu’elle est dans Sp(2n)
+ (pour
t = 0).
On calcule maintenant ρ(A) (pour t ∈ ]0, π[ :
(1) Montrer que m 0 = 0 et que ρ(A) = (e
it )
σ , où σ est la signature de Q
sur le sous-espace caractéristique E correspondant à la valeur propre e
it .
(2) Montrer que X = (1, −i, 0, 0) ∈ E et que Im ω(X, X) = 0. En déduire
que σ = 0 et que ρ(A) = 1.
Exercice 40 (grassmannienne des lagrangiens). On considère l’espace Λ n des
sous-espaces vectoriels lagrangiens de R
2n = C
n . Montrer que le groupe
U(n) opère transitivement sur Λ n et que le stabilisateur de
R
n = {X ∈ C
n
| Im(X) = 0}
est isomorphe au groupe orthogonal O(n). En déduire que Λ n est une variété
compacte et connexe de dimension n(n + 1)/2.
Montrer que l’application
d´ et
2 : U(n) −→ S
1
définit une application continue de Λ n dans S
1 et que celle-ci induit un
isomorphisme des groupes fondamentaux.
Exercice 41 (classe de Maslov d’une immersion lagrangienne).
Soit
f : L → R
n une immersion d’une variété de dimension n dans R
2n .
On suppose que f est lagrangienne, c’est-à-dire que f
ω = 0 ou encore que
T x f (T x L) est, pour tout x dans L, un sous-espace lagrangien de R
2n .
Ainsi, associer à tout point l’espace tangent en ce point définit une application « de Gauß » γ(f ) : L → Λ n . La composition
γ(f ) : π 1 (L) −→ π 1 (Λ n ) = Z